Quantos isômeros são possíveis para um complexo octaédrico de fórmula geral \left[\mathrm{MA}_{2} \mathrm{BCDE}\right] ? Desenhe todos os isômeros possíveis.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede duas coisas: (1) quantos isômeros existem para o complexo octaédrico \left[\mathrm{MA}_{2}\mathrm{BCDE}\right] e (2) desenhar todos os isômeros possíveis.
  • Informações dadas (implícitas no enunciado):
    • Geometria: octaédrica (6 sítios equivalentes).
    • Ligantes monodentados: há dois ligantes idênticos \mathrm{A} e quatro ligantes todos diferentes entre si: \mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E}.
    • Só interessa isomeria geométrica / estereoisomeria (contar isômeros espaciais, enantiômeros contados separadamente).
  • Observação útil para a resolução que vamos usar depois: os isômeros do complexo dependem da posição relativa das duas \mathrm{A}. Existem basicamente dois casos para as duas \mathrm{A} num octaedro:
    • Trans: as duas \mathrm{A} em posições opostas (180° uma da outra).
    • Cis: as duas \mathrm{A} em posições adjacentes (ângulo de 90°).
      Não vamos resolver aqui — só identifiquei o pedido e os dados.

Passo 2

Estratégia de contagem (intuição e ideia geral, explicada com calma).
  • Vamos separar em dois ramos disjuntos: contar isômeros com \mathrm{A} trans e contar isômeros com \mathrm{A} cis; depois somamos.
  • Para cada caso, fixamos uma posição canônica para as \mathrm{A} (isso facilita desenhar/contar) e contamos as maneiras não-equivalentes (pelo espaço 3D — rotações) de colocar \mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E} nas posições restantes.
  • Importantíssimo: duas disposições que podem ser transformadas uma na outra por uma rotação espacial (rotações próprias do octaedro) são o mesmo isômero. Não consideramos reflexões (essas dão, quando não reaprovadas por rotações, enantiômeros distintos).
  • Vou usar uma mistura de argumento de simetria intuitivo (subgrupos de simetria que preservam a posição das \mathrm{A}) e, para validação final, a contagem via Burnside/Polya (explico isso de forma simples) para ter certeza do total.

Passo 3

Contagem rápida usando raciocínio por casos (trans vs cis) — visão geral antes dos desenhos.
  • Caso trans: as duas \mathrm{A} ocupam posições opostas; as 4 posições restantes estão no “equador” (formando um quadrado). Colocar quatro ligantes distintos em quatro vértices de um quadrado tem 4!=24 permutações, mas muitas são equivalentes por rotações do octaedro que preservam o eixo definido por \mathrm{A}. O grupo de rotações que deixa o eixo das \mathrm{A} como conjunto tem ordem 8 (isomorfo a um dihedral D_4 atuando sobre o quadrado). Assim cada órbita tem tamanho 8 ou divisor, e para 4 rótulos distintos dá exatamente 24/8=3 disposições não equivalentes. Logo há 3 isômeros com \mathrm{A} trans.
  • Caso cis: as duas \mathrm{A} ocupam posições adjacentes. Podemos escolher uma posição canônica para as duas \mathrm{A} (por exemplo, \mathrm{A} em +x e \mathrm{A} em +z); as 4 posições restantes (às quais atribuímos \mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E}) podem ser permutadas de 4!=24 maneiras, mas agora o subgrupo de rotações que deixa o par adjacente de \mathrm{A} como conjunto é de ordem 2 (identidade e uma rotação de 180^\circ que troca as duas \mathrm{A} entre si e troca pares de posições restantes). Assim as 24 permutações dividem-se em órbitas de tamanho 2 tipicamente, dando 24/2=12 disposições não equivalentes. Logo há 12 isômeros com \mathrm{A} cis.
  • Soma total: 3 (trans) + 12 (cis) =15 isômeros. Vou agora justificar e detalhar esses cálculos com um pouco mais de teoria e desenhar explicitamente cada isômero.

Passo 4

Validação (curta) via Burnside (intuição de por que o total é 15).
  • Uma forma segura de contar é aplicar o lema de Burnside ao grupo de rotações próprias do octaedro (grupo de ordem 24). Cada rotação fixa um certo padrão de cores/ligantes. Somando o número de colorações fixas por cada rotação e dividindo por 24 obtém-se o número de órbitas (isômeros).
  • Sem entrar em detalhes técnicos longos: fazendo esse cálculo com os tipos de rotação do octaedro (identidade, rotações 90^\circ em um eixo que fixa 2 vértices, rotações 180^\circ, rotações 120^\circ em eixos diagonais, etc.) verifica-se que apenas a identidade fixa 360 colorações compatíveis com o multiconjunto \{A,A,B,C,D,E\} (pois 6!/2!=360), e todas as outras rotações próprias fixam zero colorações (porque ciclos de permutação não permitem distribuir as multiplicidades dadas). Logo número de órbitas =\dfrac{360}{24}=15. Isso confirma a soma anterior 3+12=15.
  • Comentário intuitivo: a identidade contabiliza todas as permutações distintas; as outras rotações exigem que posições em um ciclo tenham o mesmo ligante, o que só encaixaria se tivéssemos multiplicidades maiores que as realmente existentes; por isso só a identidade contribui no Burnside e o total é 360/24=15.

Passo 5

Como desenhar / representar os isômeros de forma prática (convenção).
  • Vou usar a convenção cartesiana para os 6 vértices do octaedro (equivalente a vértices em (\pm1,0,0), (0,\pm1,0),(0,0,\pm1)):
    • +x : vértice em (1,0,0)
    • -x : vértice em (-1,0,0)
    • +y : vértice em (0,1,0)
    • -y : vértice em (0,-1,0)
    • +z : vértice em (0,0,1)
    • -z : vértice em (0,0,-1)
  • Em cada desenho, vou indicar quais posições ocupam \mathrm{A} e, em seguida, escrever que ligante está em cada uma das outras posições. Isso é suficiente para reproduzir o arranjo tridimensional (quem for desenhar esquema 3D no papel, coloca os rótulos nesses vértices).
  • Para cada isômero, dou a atribuição na forma: +x:…, -x:…, +y:…, -y:…, +z:…, -z:
  • Lembrete: rotações do sólido que levam um desenho a outro representam o mesmo isômero; portanto estas 15 listas são representantes inequivalentes.

Passo 6

Desenho (lista explícita) dos 3 isômeros com \mathrm{A} trans.
  • Convenção: tomo \mathrm{A} trans em +z e -z. As quatro posições equatoriais são +x,-x,+y,-y. Vou enumerar três arranjos inequivalentes (representantes).
  • Trans-1:
    • +z:\mathrm{A}
    • -z:\mathrm{A}
    • +x:\mathrm{B}
    • +y:\mathrm{C}
    • -x:\mathrm{D}
    • -y:\mathrm{E}
  • Trans-2:
    • +z:\mathrm{A}
    • -z:\mathrm{A}
    • +x:\mathrm{B}
    • +y:\mathrm{C}
    • -x:\mathrm{E}
    • -y:\mathrm{D}
  • Trans-3:
    • +z:\mathrm{A}
    • -z:\mathrm{A}
    • +x:\mathrm{B}
    • +y:\mathrm{D}
    • -x:\mathrm{C}
    • -y:\mathrm{E}
  • Observações sobre os trans:
    • Estes três representam as três classes de ordens cíclicas distintas dos quatro ligantes ao redor do “equador” (lembre: permutações circulares equivalem por rotação e reversões também são alcançáveis por rotações próprias, por isso só restam 3).
    • Todos os trans acima são acertados (achiráis) — não há pares enantioméricos separados no caso trans.

Passo 7

Desenho (lista explícita) dos 12 isômeros com \mathrm{A} cis.
  • Convenção canônica: coloco as duas \mathrm{A} em +x e +z (posições adjacentes). As posições restantes são -x, +y, -y, -z. Para representar um isômero dou a atribuição (-x,\; +y,\; -y,\; -z) na ordem indicada — isto fixa um representante de cada órbita sob a simetria que troca as duas \mathrm{A}.
  • Vou listar 12 representantes (cada linha dá a atribuição a -x,\; +y,\; -y,\; -z):
    1. (-x:\mathrm{B},\; +y:\mathrm{C},\; -y:\mathrm{D},\; -z:\mathrm{E}) (escrevo como BCDE)
    2. (-x:\mathrm{B},\; +y:\mathrm{C},\; -y:\mathrm{E},\; -z:\mathrm{D}) (BCED)
    3. (-x:\mathrm{B},\; +y:\mathrm{D},\; -y:\mathrm{C},\; -z:\mathrm{E}) (BDCE)
    4. (-x:\mathrm{B},\; +y:\mathrm{D},\; -y:\mathrm{E},\; -z:\mathrm{C}) (BDEC)
    5. (-x:\mathrm{B},\; +y:\mathrm{E},\; -y:\mathrm{C},\; -z:\mathrm{D}) (BECD)
    6. (-x:\mathrm{B},\; +y:\mathrm{E},\; -y:\mathrm{D},\; -z:\mathrm{C}) (BEDC)
    7. (-x:\mathrm{C},\; +y:\mathrm{B},\; -y:\mathrm{D},\; -z:\mathrm{E}) (CBDE)
    8. (-x:\mathrm{C},\; +y:\mathrm{B},\; -y:\mathrm{E},\; -z:\mathrm{D}) (CBED)
    9. (-x:\mathrm{C},\; +y:\mathrm{D},\; -y:\mathrm{B},\; -z:\mathrm{E}) (CDBE)
    10. (-x:\mathrm{C},\; +y:\mathrm{E},\; -y:\mathrm{B},\; -z:\mathrm{D}) (CEBD)
    11. (-x:\mathrm{D},\; +y:\mathrm{B},\; -y:\mathrm{C},\; -z:\mathrm{E}) (DBCE)
    12. (-x:\mathrm{D},\; +y:\mathrm{C},\; -y:\mathrm{B},\; -z:\mathrm{E}) (DCBE)
  • Tradução para o esquema completo com as \mathrm{A} em +x e +z: por exemplo o representante 1 é
    • +x:\mathrm{A}, +z:\mathrm{A}, -x:\mathrm{B}, +y:\mathrm{C}, -y:\mathrm{D}, -z:\mathrm{E}.
  • Observações sobre os cis:
    • Esses 12 representam todas as disposições inequivalentes com \mathrm{A} adjacentes, escolhendo um representante por cada par gerado pela rotação de 180^\circ que troca as duas \mathrm{A}.
    • Entre esses 12 podem existir enantiômeros: algumas disposições têm uma imagem especular que não pode ser levada a si mesma por rotações próprias e, portanto, aparecem na lista como pares distintos (ex.: se o representante i tiver uma imagem especular não rotacionalmente equivalentes, essa imagem especular também é representada por outro elemento da lista). A lista contém os representantes únicos sob a simetria que fixou as \mathrm{A} em +x e +z; se quiser identificar explicitamente pares enantioméricos, pode-se comparar cada configuração com sua imagem especular (tarefa direta desenhando).

Passo 8

Como usar essas listas para desenhar no papel (passo-a-passo prático)
  • Desenhe um octaedro estilizado ou apenas os 6 vértices indicados por +x,-x,+y,-y,+z,-z.
  • Para um isômero escolhido (por exemplo Cis-1 acima), coloque \mathrm{A} em +x,+z. Em seguida coloque \mathrm{B} em -x, \mathrm{C} em +y, \mathrm{D} em -y, \mathrm{E} em -z.
  • Repetir para cada uma das 15 listas entrega os 15 desenhos requisitados.
  • Dica para identificar enantiômeros: desenhe a imagem especular (troca mão direita por esquerda). Se não houver rotação que transforme o original na sua imagem especular, são enantiômeros distintos.

Passo 9

Resumo final curto e encorajamento
  • Resultado combinado: 3 isômeros com \mathrm{A} trans e 12 isômeros com \mathrm{A} cis, total 15.
  • Sei que parece bastante informação, mas o passo prático para a prova é: (1) entender que só há cis/trans para as duas A; (2) para trans conte ordens cíclicas ao redor do quadrado (24 permutações / simetria 8 = 3); (3) para cis coloque A adjacentes (24 permutações / simetria 2 = 12); (4) some. Treine desenhando alguns representantes — isso fixa o conceito e ajuda a reconhecer enantiômeros.

Resposta

15
3 trans e 12 cis

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