Quantos isômeros são possíveis para um complexo octaédrico de fórmula geral
? Desenhe todos os isômeros possíveis.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede duas coisas: (1) quantos isômeros existem para o complexo octaédrico
e (2) desenhar todos os isômeros possíveis. - Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Geometria: octaédrica (6 sítios equivalentes).
- Ligantes monodentados: há dois ligantes idênticos
e quatro ligantes todos diferentes entre si: . - Só interessa isomeria geométrica / estereoisomeria (contar isômeros espaciais, enantiômeros contados separadamente).
- Observação útil para a resolução que vamos usar depois: os isômeros do complexo dependem da posição relativa das duas
. Existem basicamente dois casos para as duas num octaedro: - Trans: as duas
em posições opostas (180° uma da outra). - Cis: as duas
em posições adjacentes (ângulo de 90°).
Não vamos resolver aqui — só identifiquei o pedido e os dados.
- Trans: as duas
Passo 2
Estratégia de contagem (intuição e ideia geral, explicada com calma).
- Vamos separar em dois ramos disjuntos: contar isômeros com
trans e contar isômeros com cis; depois somamos. - Para cada caso, fixamos uma posição canônica para as
(isso facilita desenhar/contar) e contamos as maneiras não-equivalentes (pelo espaço 3D — rotações) de colocar nas posições restantes. - Importantíssimo: duas disposições que podem ser transformadas uma na outra por uma rotação espacial (rotações próprias do octaedro) são o mesmo isômero. Não consideramos reflexões (essas dão, quando não reaprovadas por rotações, enantiômeros distintos).
- Vou usar uma mistura de argumento de simetria intuitivo (subgrupos de simetria que preservam a posição das
) e, para validação final, a contagem via Burnside/Polya (explico isso de forma simples) para ter certeza do total.
Passo 3
Contagem rápida usando raciocínio por casos (trans vs cis) — visão geral antes dos desenhos.
- Caso trans: as duas
ocupam posições opostas; as 4 posições restantes estão no “equador” (formando um quadrado). Colocar quatro ligantes distintos em quatro vértices de um quadrado tem permutações, mas muitas são equivalentes por rotações do octaedro que preservam o eixo definido por . O grupo de rotações que deixa o eixo das como conjunto tem ordem (isomorfo a um dihedral atuando sobre o quadrado). Assim cada órbita tem tamanho ou divisor, e para 4 rótulos distintos dá exatamente disposições não equivalentes. Logo há 3 isômeros com trans. - Caso cis: as duas
ocupam posições adjacentes. Podemos escolher uma posição canônica para as duas (por exemplo, em e em ); as 4 posições restantes (às quais atribuímos ) podem ser permutadas de maneiras, mas agora o subgrupo de rotações que deixa o par adjacente de como conjunto é de ordem (identidade e uma rotação de que troca as duas entre si e troca pares de posições restantes). Assim as permutações dividem-se em órbitas de tamanho tipicamente, dando disposições não equivalentes. Logo há 12 isômeros com cis. - Soma total:
(trans) (cis) isômeros. Vou agora justificar e detalhar esses cálculos com um pouco mais de teoria e desenhar explicitamente cada isômero.
Passo 4
Validação (curta) via Burnside (intuição de por que o total é
).
- Uma forma segura de contar é aplicar o lema de Burnside ao grupo de rotações próprias do octaedro (grupo de ordem
). Cada rotação fixa um certo padrão de cores/ligantes. Somando o número de colorações fixas por cada rotação e dividindo por obtém-se o número de órbitas (isômeros). - Sem entrar em detalhes técnicos longos: fazendo esse cálculo com os tipos de rotação do octaedro (identidade, rotações
em um eixo que fixa 2 vértices, rotações , rotações em eixos diagonais, etc.) verifica-se que apenas a identidade fixa colorações compatíveis com o multiconjunto (pois ), e todas as outras rotações próprias fixam zero colorações (porque ciclos de permutação não permitem distribuir as multiplicidades dadas). Logo número de órbitas . Isso confirma a soma anterior . - Comentário intuitivo: a identidade contabiliza todas as permutações distintas; as outras rotações exigem que posições em um ciclo tenham o mesmo ligante, o que só encaixaria se tivéssemos multiplicidades maiores que as realmente existentes; por isso só a identidade contribui no Burnside e o total é
.
Passo 5
Como desenhar / representar os isômeros de forma prática (convenção).
- Vou usar a convenção cartesiana para os 6 vértices do octaedro (equivalente a vértices em
): -
: vértice em -
: vértice em -
: vértice em -
: vértice em -
: vértice em -
: vértice em
-
- Em cada desenho, vou indicar quais posições ocupam
e, em seguida, escrever que ligante está em cada uma das outras posições. Isso é suficiente para reproduzir o arranjo tridimensional (quem for desenhar esquema 3D no papel, coloca os rótulos nesses vértices). - Para cada isômero, dou a atribuição na forma:
…, …, …, …, …, … - Lembrete: rotações do sólido que levam um desenho a outro representam o mesmo isômero; portanto estas 15 listas são representantes inequivalentes.
Passo 6
Desenho (lista explícita) dos 3 isômeros com
trans.
- Convenção: tomo
trans em e . As quatro posições equatoriais são . Vou enumerar três arranjos inequivalentes (representantes). - Trans-1:
-
- Trans-2:
-
- Trans-3:
-
- Observações sobre os trans:
- Estes três representam as três classes de ordens cíclicas distintas dos quatro ligantes ao redor do “equador” (lembre: permutações circulares equivalem por rotação e reversões também são alcançáveis por rotações próprias, por isso só restam 3).
- Todos os trans acima são acertados (achiráis) — não há pares enantioméricos separados no caso trans.
Passo 7
Desenho (lista explícita) dos 12 isômeros com
cis.
- Convenção canônica: coloco as duas
em e (posições adjacentes). As posições restantes são , , , . Para representar um isômero dou a atribuição na ordem indicada — isto fixa um representante de cada órbita sob a simetria que troca as duas . - Vou listar 12 representantes (cada linha dá a atribuição a
): -
(escrevo como BCDE) -
(BCED) -
(BDCE) -
(BDEC) -
(BECD) -
(BEDC) -
(CBDE) -
(CBED) -
(CDBE) -
(CEBD) -
(DBCE) -
(DCBE)
-
- Tradução para o esquema completo com as
em e : por exemplo o representante 1 é -
, , , , , .
-
- Observações sobre os cis:
- Esses 12 representam todas as disposições inequivalentes com
adjacentes, escolhendo um representante por cada par gerado pela rotação de que troca as duas . - Entre esses 12 podem existir enantiômeros: algumas disposições têm uma imagem especular que não pode ser levada a si mesma por rotações próprias e, portanto, aparecem na lista como pares distintos (ex.: se o representante
tiver uma imagem especular não rotacionalmente equivalentes, essa imagem especular também é representada por outro elemento da lista). A lista contém os representantes únicos sob a simetria que fixou as em e ; se quiser identificar explicitamente pares enantioméricos, pode-se comparar cada configuração com sua imagem especular (tarefa direta desenhando).
- Esses 12 representam todas as disposições inequivalentes com
Passo 8
Como usar essas listas para desenhar no papel (passo-a-passo prático)
- Desenhe um octaedro estilizado ou apenas os 6 vértices indicados por
. - Para um isômero escolhido (por exemplo Cis-1 acima), coloque
em . Em seguida coloque em , em , em , em . - Repetir para cada uma das 15 listas entrega os 15 desenhos requisitados.
- Dica para identificar enantiômeros: desenhe a imagem especular (troca mão direita por esquerda). Se não houver rotação que transforme o original na sua imagem especular, são enantiômeros distintos.
Passo 9
Resumo final curto e encorajamento
- Resultado combinado:
isômeros com trans e isômeros com cis, total . - Sei que parece bastante informação, mas o passo prático para a prova é: (1) entender que só há cis/trans para as duas A; (2) para trans conte ordens cíclicas ao redor do quadrado (24 permutações / simetria 8 = 3); (3) para cis coloque A adjacentes (24 permutações / simetria 2 = 12); (4) some. Treine desenhando alguns representantes — isso fixa o conceito e ajuda a reconhecer enantiômeros.