Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:
que têm a letra C no 1^{\circ} lugar e a letra A no 2^{\circ} lugar?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO que têm a letra C no 1^{\circ} lugar e a letra A no 2^{\circ} lugar?”\n\nInformações dadas e claras:\n- A palavra é \text{CAPÍTULO}Í, cujas letras, lidas da imagem/ enunciado, são C, A, P, \Í, T, U, L, O.\n- O enunciado exige que a letra C esteja fixa no 1^{\circ} lugar e a letra A esteja fixa no 2^{\circ} lugar.\n- Todas as letras presentes são distintas (observe que o com acento é uma letra distinta das demais).\n\nNada mais foi pedido (apenas contar quantos anagramas satisfazem essas duas posições fixas).

Passo 2

O que é um “anagrama” aqui? É simplesmente uma permutação (uma ordenação) das letras da palavra. Quando todas as letras são distintas, o número de formas de ordenar n objetos distintos é dado por n! (lê-se "fatorial de n").\n\nExplicando o fatorial de um jeito bem prático: \n- \;n!\;=\;n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1.\n\nExemplo simples para fixar a ideia: com 3 letras diferentes, digamos A,B,C, o número de anagramas é \;3!=3\cdot2\cdot1=6. Você pode listar: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Passo 3

Contemos quantas letras há na palavra \text{CAPÍTULO}Í.\n\nO total de letras é \;8\; (são C, A, P, \Í, T, U, L, O).\n\nComo todas são distintas, se não houvesse restrição de posições, o número total de anagramas seria \;8!\;. Mas temos restrições (C no 1.º lugar e A no 2.º lugar), então precisamos levar isso em conta.

Passo 4

Vamos aplicar a fixação das posições pedidas: \n- Colocamos C no 1^{\circ} lugar (fixo). \n- Colocamos A no 2^{\circ} lugar (fixo).\n\nAo fazer isso, sobram 8-2=6 posições livres (a partir do 3^{\circ} lugar até o 8^{\circ} lugar) e sobram também 6 letras para distribuir nessas posições. As letras restantes, obtidas da lista original, são P, \Í, T, U, L, O (peguei esses dados da palavra dada).

Passo 5

Agora contamos de quantas maneiras podemos ordenar essas 6 letras restantes nas 6 posições livres.\n\nPelo princípio do fatorial e do produto, o número de maneiras de ordenar 6 objetos distintos é \;6!\;.\n\nCalculando \;6!\;:\n 6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.\nVamos multiplicar passo a passo para ficar bem claro:\n 6\cdot5 = 30,\n 30\cdot4 = 120,\n 120\cdot3 = 360,\n 360\cdot2 = 720,\n 720\cdot1 = 720.\nPortanto \;6! = 720.

Passo 6

Interpretação final do raciocínio: como fixamos C e A nas duas primeiras posições, toda a contagem se reduz a permutar as 6 letras restantes nas 6 posições livres. Logo o número procurado é \;6!\;=\;720.

Resposta

720

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