Questão 01: A matriz
foi fatorada na forma
onde
é uma matriz diagonal
as seguintes entradas na diagonal,
, nesta ordem, onde
. Assuma que
são os espaços associados à
, que
sejam as linhas de
respectivamente e que
sejam as colunas de
, respectivamente. Para todas as questões, justifique sua resposta.
- (20%) Qual é o posto de
?
A fatoração revela o posto. O posto é o número de entradas não nulas (autovalores não nulos) na diagonal de
.
2. (20%) Quais as dimensões dos quatro espaços fundamentais ?
Como a matriz é
e o posto é 2 , todos os espaços possuem dimensão
.
3. (20%) Caracterize
(apresente bases para).
e
. A matriz é diagonalizável e os autovetores associados aos autovalores não nulos geram
enquanto os autovetores associados ao autovalor
(caso exista) geram
.
4.
Caracterize o subespaço
.
é o autoespaço associado ao autovetor cujo autovalor é
. Portanto,
.
5. (20%) E possível afirmar que
?
Não é possível, pois
enquanto que
.
2. (20%) Quais as dimensões dos quatro espaços fundamentais ?
3. (20%) Caracterize
4.
5. (20%) E possível afirmar que
Passo 1
O enunciado dá a diagonalização
de uma matriz
com autovalores
(na ordem), onde
. Vamos usar propriedades de posto, nulidade e espaços autovetoriais de matrizes diagonalizáveis para responder às cinco partes.
Passo 2
Para achar
note que, como
é invertível,
Em
só há dois elementos diagonais não nulos (
e
), portanto
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) numa matriz
vale
Como
, também
Passo 4
Em matrizes diagonalizáveis os vetores próprios de autovalores não nulos geram a imagem, e os de autovalor zero geram o núcleo. Assim
Passo 5
O subespaço
é o autoespaço relativo ao autovalor
. Logo
Passo 6
O núcleo de
é
enquanto
Como em geral
, concluímos que
Resposta
(1)
.
(2) ,
,
,
.
(3) ,
.
(4) .
(5) Não; .
(2)
(3)
(4)
(5) Não;