Questão 01: A matriz A foi fatorada na forma A=Z D Z^-1 onde D é uma matriz diagonal 4 times 4 com as seguintes entradas na diagonal, a, b, 0,0, nesta ordem, onde a>b>0. Assuma que C(A), N(A), C(A^T), N(A^T) são os espaços associados à A, que zi^T, zi^-T sejam as linhas de Z, Z^-1 respectivamente e que Zi, Zi^-1 sejam as colunas de Z, Z^-1, respectivamente. Para todas as questões, justifique sua resposta.
  1. (20%) Qual é o posto de A ?
A fatoração revela o posto. O posto é o número de entradas não nulas (autovalores não nulos) na diagonal de D, 2.
2. (20%) Quais as dimensões dos quatro espaços fundamentais ?
Como a matriz é 4 times 4 e o posto é 2 , todos os espaços possuem dimensão 2=4-2.
3. (20%) Caracterize C(A), N(A) (apresente bases para).
C(A)=spanZ1, Z2 e N(A)=spanZ3, Z4. A matriz é diagonalizável e os autovetores associados aos autovalores não nulos geram C(A) enquanto os autovetores associados ao autovalor lambda=0 (caso exista) geram N(A).
4. (20 %) Caracterize o subespaço N(A-a I).
N(A-a I) é o autoespaço associado ao autovetor cujo autovalor é a. Portanto, N(A-a I)= spanZ1.
5. (20%) E possível afirmar que N(A)=N(D) ?
Não é possível, pois N(A)=spanZ3, Z4 enquanto que spane3, e4=N(D).

Passo 1

O enunciado dá a diagonalização A=Z,D,Z^-1 de uma matriz 4times4 com autovalores a,b,0,0 (na ordem), onde a>b>0. Vamos usar propriedades de posto, nulidade e espaços autovetoriais de matrizes diagonalizáveis para responder às cinco partes.

Passo 2

Para achar rank(A) note que, como Z é invertível,
rank(A)=rank(D)
Em D só há dois elementos diagonais não nulos ( a e b), portanto
rank(A)=2

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) numa matriz 4times4 vale
dim N(A)=4-rank(A)=4-2=2
Como rank(A)=rank(A^T)=2, também
dim C(A)=2, dim C(A^T)=2, dim N(A^T)=4-2=2

Passo 4

Em matrizes diagonalizáveis os vetores próprios de autovalores não nulos geram a imagem, e os de autovalor zero geram o núcleo. Assim
C(A)=Zl(colunas de D com entradas não nulasr) =spanZ1,Z2, ã
N(A)=Zl(colunas de D associadas a 0r) =spanZ3,Z4

Passo 5

O subespaço N(A-aI) é o autoespaço relativo ao autovalor a. Logo
N(A-aI)=spanZ1

Passo 6

O núcleo de D é
N(D)=spane3,e4,
enquanto
N(A)=Z,N(D)=spanZ3,Z4
Como em geral spanZ3,Z4neqspane3,e4, concluímos que
N(A)neq N(D)

Resposta

(1) rank(A)=2.
(2) dim C(A)=2, dim N(A)=2, dim C(A^T)=2, dim N(A^T)=2.
(3) C(A)=spanZ1,Z2, ;N(A)=spanZ3,Z4.
(4) N(A-aI)=spanZ1.
(5) Não; N(A)=spanZ3,Z4neqspane3,e4=N(D).

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