(i) Explique o que é estado de tensões em um ponto de um corpo deformável, (ii) defina tensor de tensões e explique o significado físico de suas componentes e (iii) discuta e justifique se o tensor de tensões pode variar de um ponto para outro em um corpo sujeito a carregamentos externos.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado pede e dados implícitos:
O enunciado faz três perguntas separadas:
(i) Explicar o que é o estado de tensões em um ponto de um corpo deformável.
(ii) Definir o tensor de tensões e explicar o significado físico de suas componentes.
(iii) Discutir e justificar se o tensor de tensões pode variar de um ponto para outro em um corpo sujeito a carregamentos externos.
Não há outros dados numéricos; trata‑se de conceitos. Vou responder cada item e ensinar a teoria necessária passo a passo.
Passo 2
O que é preciso entender antes de dar a definição: o modelo contínuo e forças internas.
Em mecânica dos sólidos modelamos um corpo como um meio contínuo: cortamos uma região muito pequena do material (uma superfície infinitesimal) e examinamos as forças que as partes vizinhas exercem umas nas outras através dessa superfície.
Essas forças por unidade de área, ao considerarmos superfícies muito pequenas que passam por um ponto, são as quantidades fundamentais para definir “tensão” naquele ponto. Elas capturam a resposta interna do material às cargas externas.
Conceito prático: pense num ponto dentro do corpo e imagine um plano infinitesimal passando por ele. A força por área que a vizinhança de um lado do plano aplica sobre a vizinhança do outro lado define a tensão nesse plano.
Passo 3
Definição matemática do vetor de tração (força por unidade de área) numa face de normal \mathbf{n}.
Seja \Delta \mathbf{F} a força exercida sobre uma pequena área \Delta S com normal unitário \mathbf{n}. Define‑se o vetor de tração \mathbf{t}^{(\mathbf{n})} por
\mathbf{t}^{(\mathbf{n})} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta S}.
Interpretação: \mathbf{t}^{(\mathbf{n})} é a força por unidade de área que atua sobre a face cujo vetor normal é \mathbf{n}, localizada exatamente naquele ponto.
Passo 4
Teorema de Cauchy e existência do tensor de tensões.
O teorema de Cauchy afirma que a dependência do vetor de tração com a orientação da face é linear. Isso implica que existe um tensor de segunda ordem \boldsymbol{\sigma} tal que, para qualquer direção normal unitária \mathbf{n},
Aqui \boldsymbol{\sigma} é o que chamamos de tensor de tensões (ou tensor de Cauchy). Ele contém toda a informação sobre as forças internas por unidade de área no ponto.
Passo 5
Componentes do tensor de tensões e convenção de índices.
Em coordenadas cartesianas com vetores de base \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} representamos \boldsymbol{\sigma} por uma matriz com elementos \sigma_{ij}, onde
\sigma_{ij}
é o i-ésimo componente do vetor de tração na face cuja normal é \mathbf{e}_j.
Em palavras simples: \sigma_{ij} é a componente de força por unidade de área na direção i agindo sobre a face normal à direção j.
Exemplo prático: \sigma_{11} é a tensão normal na direção x_1 na face com normal x_1; \sigma_{12} é a tensão na direção x_1 atuando sobre a face cujo normal é x_2 (ou seja, é uma componente de cisalhamento).
Passo 6
Separação física entre componentes normais e de cisalhamento.
As componentes diagonais \sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33} são chamadas tensões normais: representam força por área que tenta alongar ou comprimir a região na direção indicada.
As componentes fora da diagonal \sigma_{ij} com i\neq j são tensões de cisalhamento: representam forças tangenciais à face (tendência a deslizar uma camada sobre a outra).
Convenção de sinal: normalmente toma‑se \emph{tensão positiva} quando tende a alongar (tração) e negativa quando comprime, desde que essa convenção seja indicada. O importante é explicar a convenção usada na resolução da prova.
Passo 7
Exemplos simples para fixar a ideia (com matrizes de tensões).
onde \tau é a intensidade do cisalhamento; note que aparecem dois elementos \tau simétricos (veremos por que).]
Passo 8
Por que o tensor de tensões é simétrico (\sigma_{ij}=\sigma_{ji}) — argumento físico via equilíbrio de momentos.
Considere um pequeno cubo elemento de volume com aresta \Delta x. As tensões de cisalhamento aplicadas nas faces geram momentos (torques) sobre o cubo.
Para que o cubo não tenha aceleração angular (ou seja, para equilíbrio estático sem momentos externos distribuídos), os momentos gerados pelas tensões nas faces opostas devem se cancelar.
Tomando o limite \Delta x\to 0 obtém‑se que os termos de primeira ordem implicam
\sigma_{ij} = \sigma_{ji},\qquad i\neq j.
Interpretação: em ausência de torques distribuídos (couples) o tensor de tensões é simétrico; se houver momentos internos distribuídos (material com microtorques) essa simetria pode ser violada, mas na maioria dos problemas de engenharia a simetria vale.
Passo 9
Equações de equilíbrio de forças locais (forma diferencial) e relação com variação espacial das tensões.
Ao aplicar o balanço de forças num elemento infinitesimal obtém‑se a equação de equilíbrio
onde \mathbf{b} é o vetor de forças de corpo por unidade de volume (por exemplo gravidade).
Em componentes essa equação fica
\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + b_i = 0\quad\text{(soma sobre }j\text{)},
com a notação de soma de Einstein. Aqui x_j são as coordenadas espaciais e b_i é a componente i da força de corpo.
Interpretando: as derivadas espaciais das componentes de tensão (gradientes) equilibram as forças de corpo; portanto, se há variações de carga ou geometria aparecem gradientes de tensão.
Passo 10
Discussão direta: o tensor de tensões pode variar de ponto para ponto? (resposta qualitativa e justificativa)
Sim: em geral o tensor de tensões é um campo vetorial/tensorial dependente da posição, ou seja \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x}).
Justificativas e exemplos:
Geometria não trivial ou carregamentos concentrados geram distribuições de tensões que mudam com \mathbf{x}. Ex.: num viga engastada com carregamento à ponta as tensões por flexão variam ao longo da seção e do comprimento (tensão normal de flexão é proporcional à distância à fibra neutra).
Concentrações de tensão (perto de furos, entalhes, trincas) produzem variações muito acentuadas do campo \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x}).
Somente em casos especiais muito simétricos e carregamentos uniformes a tensão pode ser constante em toda a região (por exemplo barra de seção uniforme sujeita a tração axial distribuída uniformemente sem forças de corpo: \sigma_{11}=F/A constante).
Portanto: a possibilidade de variação é a regra; uniformidade é exceção e depende de condições de contorno, carregamento e geometria.
Passo 11
Condições de contorno e continuidade do campo de tensões
Em superfícies internas que dividem dois materiais diferentes a condição de equilíbrio impõe a continuidade da tração:
onde \mathbf{n} é a normal da superfície e os índices ^{(1)},^{(2)} indicam os dois lados.
Isso significa que componentes individuais \sigma_{ij} podem aparentar descontinuidades na matriz, mas as tractions (combinações relevantes) devem coincidir para não haver fissuras virtuais. Se houver contato livre, então a tração pode ser nula na superfície externa (condição de contorno natural).
Passo 12
Como usar isso numa prova — procedimento prático para “achar as tensões num ponto”
Identifique o ponto e a orientação das faces de interesse; desenhe um elemento pequeno e faça o diagrama de forças internas (vetor de tração em cada face).
Use o teorema de Cauchy \mathbf{t}^{(\mathbf{n})}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} para relacionar tração e componentes de \boldsymbol{\sigma}.
Aplique equilíbrio de forças (e momentos se necessário) ao elemento para obter equações que permitam calcular as componentes \sigma_{ij}.
Use condições de contorno e simetrias do problema para simplificar (por exemplo, em problemas puramente axiais \sigma_{22}=\sigma_{33}=0 etc.).
Verifique a simetria \sigma_{ij}=\sigma_{ji} (se o problema não envolver couples).
Dica amiga: desenhar o vetor de tração em cada face e rotular claramente as componentes é meio caminho andado para não se perder.
Resposta
(i) O estado de tensões em um ponto é a coleção das forças internas por unidade de área exercidas entre vizinhanças através de todas as orientações de superfícies que passam por esse ponto; matematicamente representado pelos vetores de tração \mathbf{t}^{(\mathbf{n})} para cada normal \mathbf{n}.
(ii) O tensor de tensões é o tensor de segunda ordem \boldsymbol{\sigma} definido pela relação de Cauchy \mathbf{t}^{(\mathbf{n})}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}; suas componentes \sigma_{ij} representam a componente i da força por unidade de área atuando na face cuja normal é a direção j (diagonais = tensões normais, fora da diagonal = cisalhamentos).
(iii) Sim: em geral \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x}) varia de ponto para ponto, porque a distribuição de cargas, geometria e condições de contorno impõe gradientes de tensão; apenas em casos especiais (situações simétricas e carregamentos uniformes) o tensor pode ser espacialmente uniforme.