Questão 01. (2,5 pontos)

Sejam as matrizes e o polinómio abaixo:
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right] ; \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right] ; \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] ; \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{2}-\mathbf{3} \boldsymbol{x}-\mathbf{2}
E seja \boldsymbol{M} \boldsymbol{\in} \boldsymbol{M}_{\mathbf{2}}(\mathbb{R}) tal que satisfaz a equação: (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{M}) / \mathbf{2}-(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{B}) / \mathbf{3}=\boldsymbol{C}.
Determine o valor de \boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{M}^{\mathbf{- 1}}\right).

Passo 1

Enunciado e dados (o que é pedido e o que foi dado):
  • As matrizes são
\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}0 & 2\\[4pt]-1 & 2\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{bmatrix}.
  • O polinómio é \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{2}-\mathbf{3}\boldsymbol{x}-\mathbf{2}.
  • A matriz \boldsymbol{M}\in M_{2}(\mathbb{R}) satisfaz a equação
\frac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{M}}{2}-\frac{\boldsymbol{M}-\boldsymbol{B}}{3}=\boldsymbol{C}.
O que é pedido:
  • Determinar \boldsymbol{P}\bigl(\boldsymbol{M}^{-1}\bigr), ou seja aplicar o polinómio \boldsymbol{p} à matriz inversa de \boldsymbol{M}.]

Passo 2

Resolver a equação matricial para encontrar \boldsymbol{M}.
Explicação da ideia: para eliminar frações, multiplicar ambos os lados pelo mínimo comum múltiplo dos denominadores (aqui 6). Depois isolar \boldsymbol{M}.
Multiplicando ambos os lados por 6 obtemos:
6\left(\frac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{M}}{2}-\frac{\boldsymbol{M}-\boldsymbol{B}}{3}\right)=6\boldsymbol{C}.
Como 6\cdot\frac{1}{2}=3 e 6\cdot\frac{1}{3}=2, isso dá
3(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{M})-2(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{B})=6\boldsymbol{C}.
Agora desenvolvendo parênteses:
3\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{M}-2\boldsymbol{M}+2\boldsymbol{B}=6\boldsymbol{C}.
Agrupando os termos com \boldsymbol{M}:
3\boldsymbol{A}+\boldsymbol{M}+2\boldsymbol{B}=6\boldsymbol{C}.
Isolando \boldsymbol{M}:
\boldsymbol{M}=6\boldsymbol{C}-3\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{B}.

Passo 3

Calcular \boldsymbol{M} numericamente.
Primeiro calcular cada termo:
6\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}6 & 6\\[4pt]0 & 6\end{bmatrix},\qquad 3\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}6 & 3\\[4pt]3 & 0\end{bmatrix},\qquad 2\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}0 & 4\\[4pt]-2 & 4\end{bmatrix}.
Agora \boldsymbol{M}=6\boldsymbol{C}-3\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{B}. Fazer subtrações elemento a elemento:
6\boldsymbol{C}-3\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 3\\[4pt]-3 & 6\end{bmatrix},
\boldsymbol{M}=\begin{bmatrix}0 & 3\\[4pt]-3 & 6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0 & 4\\[4pt]-2 & 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0-0 & 3-4\\[4pt]-3-(-2) & 6-4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{bmatrix}.
Portanto
\boldsymbol{M}=\begin{bmatrix}0 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular \boldsymbol{M}^{-1}.
Relembrando: para uma matriz 2\times2 \begin{bmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{bmatrix}, o determinante é \det = ad-bc e a inversa (quando \det\neq0) é
\begin{bmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{bmatrix}.
Aqui a=0, b=-1, c=-1, d=2. O determinante é
\det(\boldsymbol{M})=0\cdot 2 - (-1)\cdot(-1)=0-1=-1.
Como \det(\boldsymbol{M})=-1\neq0, a inversa existe. Aplicando a fórmula:
\boldsymbol{M}^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-2 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{bmatrix}.]

Passo 5

Entender o que significa aplicar o polinómio a uma matriz e preparar o cálculo de \boldsymbol{p}\bigl(\boldsymbol{M}^{-1}\bigr).
Explicação didática: para um polinómio p(x)=x^{2}-3x-2 e uma matriz \boldsymbol{N}, define-se
p(\boldsymbol{N})=\boldsymbol{N}^{2}-3\boldsymbol{N}-2\boldsymbol{I},
onde \boldsymbol{I} é a matriz identidade 2\times2. Ou seja, constantes multiplicam a identidade, e potências de x viram potências da matriz. Aqui \boldsymbol{N}=\boldsymbol{M}^{-1}.

Passo 6

Calcular \boldsymbol{N}=\boldsymbol{M}^{-1} ao quadrado: \boldsymbol{N}^{2}, depois calcular -3\boldsymbol{N} e -2\boldsymbol{I}, e somar.
Já temos
\boldsymbol{N}=\begin{bmatrix}-2 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{bmatrix}.
Calcular \boldsymbol{N}^{2}=\boldsymbol{N}\boldsymbol{N}. Multiplicação de matrizes 2×2 feita elemento a elemento é:
\boldsymbol{N}^{2}=\begin{bmatrix} (-2)(-2)+(-1)(-1) & (-2)(-1)+(-1)(0)\\[4pt] (-1)(-2)+0(-1) & (-1)(-1)+0\cdot 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5 & 2\\[4pt]2 & 1\end{bmatrix}.
Agora calcular -3\boldsymbol{N}:
-3\boldsymbol{N}=-3\begin{bmatrix}-2 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6 & 3\\[4pt]3 & 0\end{bmatrix}.
E -2\boldsymbol{I} (onde \boldsymbol{I}=\begin{bmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{bmatrix}):
-2\boldsymbol{I}=\begin{bmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{bmatrix}.]

Passo 7

Somar os termos para obter \boldsymbol{p}\bigl(\boldsymbol{M}^{-1}\bigr)=\boldsymbol{N}^{2}-3\boldsymbol{N}-2\boldsymbol{I}.
Fazendo a soma elemento a elemento:
\begin{bmatrix}5 & 2\\[4pt]2 & 1\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}6 & 3\\[4pt]3 & 0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5+6-2 & 2+3+0\\[4pt]2+3+0 & 1+0-2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}9 & 5\\[4pt]5 & -1\end{bmatrix}.
Portanto
\boldsymbol{p}\bigl(\boldsymbol{M}^{-1}\bigr)=\begin{bmatrix}9 & 5\\[4pt]5 & -1\end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix}9 & 5\\[4pt]5 & -1\end{bmatrix}]

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