E seja \boldsymbol{M} \boldsymbol{\in} \boldsymbol{M}_{\mathbf{2}}(\mathbb{R}) tal que satisfaz a equação: (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{M}) / \mathbf{2}-(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{B}) / \mathbf{3}=\boldsymbol{C}.
Determine o valor de \boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{M}^{\mathbf{- 1}}\right).
Passo 1
Enunciado e dados (o que é pedido e o que foi dado):
Determinar \boldsymbol{P}\bigl(\boldsymbol{M}^{-1}\bigr), ou seja aplicar o polinómio \boldsymbol{p} à matriz inversa de \boldsymbol{M}.]
Passo 2
Resolver a equação matricial para encontrar \boldsymbol{M}.
Explicação da ideia: para eliminar frações, multiplicar ambos os lados pelo mínimo comum múltiplo dos denominadores (aqui 6). Depois isolar \boldsymbol{M}.
onde \boldsymbol{I} é a matriz identidade 2\times2. Ou seja, constantes multiplicam a identidade, e potências de x viram potências da matriz. Aqui \boldsymbol{N}=\boldsymbol{M}^{-1}.
Passo 6
Calcular \boldsymbol{N}=\boldsymbol{M}^{-1} ao quadrado: \boldsymbol{N}^{2}, depois calcular -3\boldsymbol{N} e -2\boldsymbol{I}, e somar.