Questão 02.

Determine os valores do parâmetro \boldsymbol{k}, caso existam, para que o sistema linear:
\begin{gathered} x+k y+z=1 \\\ x+y-z=1 \\\\ 2 x+3 y=2 \end{gathered}
seja classificado como:
a) (1,0 val.) Possível e determinado;
b) (1,0 val.) Possível e indeterminado;
c) (0,5 val.) Impossível.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear com três equações e três incógnitas x,y,z:
\begin{gathered} x+k y+z=1 \\\ x+y-z=1 \\\\ 2 x+3 y=2 \end{gathered}
Ele pede que se determine os valores do parâmetro k, se existirem, para que o sistema seja:
  • (a) possível e determinado;
  • (b) possível e indeterminado;
  • (c) impossível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As equações são exatamente as três dadas acima.
  • O parâmetro a variar é k.
  • Os objetivos são apenas classificar o sistema para os valores de k.

Passo 2

Plano de ataque (explicação do método que vou usar — sem começar a calcular ainda):
Quando temos um sistema linear quadrado (mesmo número de equações e incógnitas), uma forma prática de ver se ele tem solução única é calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem uma única solução (possível e determinado). Se o determinante for zero, a matriz não é invertível e então o sistema pode ser ou impossível (inconsistente) ou possível e indeterminado (infinitas soluções); nesses casos precisamos verificar a consistência comparando a posição do vetor de termos independentes (a matriz aumentada) — na prática, aqui faremos eliminação/relação entre as equações para ver se gera inconsistência ou dependência.
Justificativa sucinta do porquê desse método:
  • Determinante não nulo implica sistema de solução única.
  • Determinante nulo requer análise adicional de dependência entre equações para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.
    Vou então calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, se necessário, estudar o caso crítico onde o determinante se anula.

Passo 3

Escrever a matriz dos coeficientes e calcular o determinante passo a passo.
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & k & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
O determinante de A pode ser calculado desenvolvendo pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1 & -1 \\[2pt] 3 & 0\end{vmatrix} - k\cdot\begin{vmatrix}1 & -1 \\[2pt] 2 & 0\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}1 & 1 \\[2pt] 2 & 3\end{vmatrix}.
Agora calcule cada menor 2\times2:
\begin{vmatrix}1 & -1 \\[2pt] 3 & 0\end{vmatrix}=1\cdot0-(-1)\cdot3=3,
\begin{vmatrix}1 & -1 \\[2pt] 2 & 0\end{vmatrix}=1\cdot0-(-1)\cdot2=2,
\begin{vmatrix}1 & 1 \\[2pt] 2 & 3\end{vmatrix}=1\cdot3-1\cdot2=1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot3 - k\cdot2 + 1\cdot1 = 3-2k+1 = 4-2k.
Fatorando:
\det(A)=2(2-k).]

Passo 4

Interpretação do determinante e conclusão para o caso \det(A)\neq0.
Como \det(A)=2(2-k), temos que \det(A)\neq0 quando 2-k\neq0, isto é quando k\neq2.
Lembrete do conceito usado: se a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução. Portanto, para todo k tal que k\neq2, o sistema é possível e determinado.

Passo 5

Análise do caso crítico k=2 (quando \det(A)=0): verificar se o sistema fica indeterminado ou impossível.
Substituindo k=2 nas equações, o sistema fica
\begin{gathered} x+2y+z=1 \tag{1'}\\[2pt] x+y-z=1 \tag{2'}\\[2pt] 2x+3y=2 \tag{3'} \end{gathered}
Uma observação rápida: somando (1’) e (2’) temos
(1')+(2'):\quad (x+x)+(2y+y)+(z-z)=1+1 \quad\Longrightarrow\quad 2x+3y=2,
que é exatamente a equação (3’). Isso mostra que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras, ou dito de outro modo: as três equações não são independentes — há apenas duas equações independentes quando k=2.
Esse fato implica que o sistema não é inconsistente automaticamente; precisamos ver se as duas equações independentes são consistentes entre si (elas são, pois já têm a mesma soma que produz a terceira). Concluímos que o sistema possui infinitas soluções (uma liberdade a mais: 3 incógnitas e apenas 2 equações independentes).
Para ficar mais explícito e didático, vou parametrizar as soluções quando k=2.
Pegue z como parâmetro livre, escrevendo z=t com t\in\mathbb{R}. Use a equação (2’):
x+y-z=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1-y+z = 1-y+t.
Substitua x em (3’) que é 2x+3y=2:
2(1-y+t)+3y=2 \quad\Longrightarrow\quad 2-2y+2t+3y=2.
Simplifique:
(-2y+3y)+2+2t=2 \quad\Longrightarrow\quad y+2t=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-2t.
Então
x=1-y+t=1-(-2t)+t=1+3t.
Portanto a solução geral para k=2 é
(x,y,z)=(1+3t,\,-2t,\,t),\qquad t\in\mathbb{R},
mostrando claramente infinitas soluções (uma família com um parâmetro livre). Logo para k=2 o sistema é possível e indeterminado.]

Passo 6

Verificação final e conclusão sobre impossibilidade.
  • Para k\neq2 temos \det(A)\neq0 e logo solução única (possível e determinado).
  • Para k=2 temos \det(A)=0 mas as equações são consistentes (a terceira é soma das duas primeiras), resultando em infinitas soluções (possível e indeterminado).
  • Não existe nenhum valor de k que torne o sistema impossível, pois o único caso singular k=2 é consistente. Portanto não há valor de k que torne o sistema impossível.

Resposta

(a) k\neq2
(b) k=2
(c) Não existe valor de k

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