Ele pede que se determine os valores do parâmetro k, se existirem, para que o sistema seja:
(a) possível e determinado;
(b) possível e indeterminado;
(c) impossível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As equações são exatamente as três dadas acima.
O parâmetro a variar é k.
Os objetivos são apenas classificar o sistema para os valores de k.
Passo 2
Plano de ataque (explicação do método que vou usar — sem começar a calcular ainda):
Quando temos um sistema linear quadrado (mesmo número de equações e incógnitas), uma forma prática de ver se ele tem solução única é calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem uma única solução (possível e determinado). Se o determinante for zero, a matriz não é invertível e então o sistema pode ser ou impossível (inconsistente) ou possível e indeterminado (infinitas soluções); nesses casos precisamos verificar a consistência comparando a posição do vetor de termos independentes (a matriz aumentada) — na prática, aqui faremos eliminação/relação entre as equações para ver se gera inconsistência ou dependência.
Justificativa sucinta do porquê desse método:
Determinante não nulo implica sistema de solução única.
Determinante nulo requer análise adicional de dependência entre equações para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vou então calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, se necessário, estudar o caso crítico onde o determinante se anula.
Passo 3
Escrever a matriz dos coeficientes e calcular o determinante passo a passo.
Interpretação do determinante e conclusão para o caso \det(A)\neq0.
Como \det(A)=2(2-k), temos que \det(A)\neq0 quando 2-k\neq0, isto é quando k\neq2.
Lembrete do conceito usado: se a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução. Portanto, para todo k tal que k\neq2, o sistema é possível e determinado.
Passo 5
Análise do caso crítico k=2 (quando \det(A)=0): verificar se o sistema fica indeterminado ou impossível.
que é exatamente a equação (3’). Isso mostra que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras, ou dito de outro modo: as três equações não são independentes — há apenas duas equações independentes quando k=2.
Esse fato implica que o sistema não é inconsistente automaticamente; precisamos ver se as duas equações independentes são consistentes entre si (elas são, pois já têm a mesma soma que produz a terceira). Concluímos que o sistema possui infinitas soluções (uma liberdade a mais: 3 incógnitas e apenas 2 equações independentes).
Para ficar mais explícito e didático, vou parametrizar as soluções quando k=2.
Pegue z como parâmetro livre, escrevendo z=t com t\in\mathbb{R}. Use a equação (2’):
mostrando claramente infinitas soluções (uma família com um parâmetro livre). Logo para k=2 o sistema é possível e indeterminado.]
Passo 6
Verificação final e conclusão sobre impossibilidade.
Para k\neq2 temos \det(A)\neq0 e logo solução única (possível e determinado).
Para k=2 temos \det(A)=0 mas as equações são consistentes (a terceira é soma das duas primeiras), resultando em infinitas soluções (possível e indeterminado).
Não existe nenhum valor de k que torne o sistema impossível, pois o único caso singular k=2 é consistente. Portanto não há valor de k que torne o sistema impossível.