Questão 03. (2,5 pontos)

Seja \boldsymbol{W} o subespaço vetorial de \boldsymbol{M}_{\mathbf{2}}(\mathbb{R}) definido por:
\boldsymbol{W}=I\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ -3 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 4 & 1 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} -2 & 3 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right] l
Verifique se o conjunto dos vetores geradores de W acima constitui uma base para o espaço \boldsymbol{M}_{\mathbf{2}}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá um subespaço \boldsymbol{W} gerado pelos quatro matrizes abaixo (estas são as geradoras fornecidas):
\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ -3 & 2 \end{array}\right],\quad \left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right],\quad \left[\begin{array}{cc} 4 & 1 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right],\quad \left[\begin{array}{cc} -2 & 3 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right].
A pergunta pede: verificar se esse conjunto de vetores geradores constitui uma base para o espaço \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}).
As informações relevantes que temos são exatamente as quatro matrizes acima e o fato implícito de que o espaço alvo é \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 2

O que significa “ser uma base” (explicação didática sem pular etapas):
  • Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é simultaneamente gerador (spanning) e linearmente independente.
  • O espaço \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4. Explicando por que: uma matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes \,m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}\,, então um conjunto de quatro vetores linearmente independentes já forma uma base.
  • Portanto, para provar que as quatro matrizes dadas formam uma base basta mostrar que elas são linearmente independentes (pois são exatamente quatro vetores num espaço de dimensão 4; ter 4 vetores independentes implica formar base).
  • Como testar independência de 4 vetores em dimensão 4? Uma maneira prática é transformar cada matriz em um vetor em \mathbb{R}^4 (por exemplo ordenando as entradas como (m_{11},m_{12},m_{21},m_{22})) e calcular o determinante de uma matriz 4\times4 cujas colunas são esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes.

Passo 3

Passo concreto: converter cada matriz em um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordem (m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}).
Para as matrizes dadas obtém-se:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}4\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad v_{4}=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]3\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Formar a matriz A\in\mathbb{R}^{4\times4} cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & -2\\[3pt] 1 & 2 & 1 & 3\\[3pt] -3 & -1 & 2 & -1\\[3pt] 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação didática: se \det(A)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes; isso vem do fato de que \det(A)=0 significa que as colunas são linearmente dependentes (propriedade básica de determinante).]

Passo 5

Vamos calcular \det(A) com operações elementares (mostrando cada passo para que dê para reproduzir na prova sem calculadora complicada). Começamos aplicando operações de linha que não mudam o determinante (ou que mudam de forma controlada; aqui usaremos apenas combinações que deixam o determinante inalterado: somar múltiplos de uma linha a outra).
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & -2\\[3pt] 1 & 2 & 1 & 3\\[3pt] -3 & -1 & 2 & -1\\[3pt] 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Faço as seguintes operações (cada uma é "linha_i \leftarrow linha_i + c\cdot) linha_1, que não altera o determinante):
  • L_2 \leftarrow L_2 - L_1,
  • L_3 \leftarrow L_3 + 3L_1,
  • L_4 \leftarrow L_4 - 2L_1.
Aplicando:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & -2\\[3pt] 0 & 2 & -3 & 5\\[3pt] 0 & -1 & 14 & -7\\[3pt] 0 & 1 & -8 & 5 \end{pmatrix}.
Comentário: como a primeira coluna agora tem apenas um elemento não nulo (o 1 na primeira linha), podemos desenvolver o determinante pela primeira coluna: \det(A)=1\cdot\det(B), onde B é a submatriz 3\times3 obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna.]

Passo 6

Escrever a submatriz B:
B=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 5\\[3pt] -1 & 14 & -7\\[3pt] 1 & -8 & 5 \end{pmatrix}.
Agora calculamos \det(B). Vou usar a fórmula de Laplace expandida pelo método direto (regra de Sarrus ou fórmula de desenvolvimento para 3\times3):
\det(B)= 2\bigl(14\cdot5-(-7)\cdot(-8)\bigr) -(-3)\bigl((-1)\cdot5-(-7)\cdot1\bigr) +5\bigl((-1)\cdot(-8)-14\cdot1\bigr).
Explicando cada termo:
  • Primeiro termo: 14\cdot5=70 e (-7)\cdot(-8)=56, então 14\cdot5-(-7)\cdot(-8)=70-56=14. Multiplicando por 2 28.
  • Segundo termo: (-1)\cdot5=-5 e (-7)\cdot1=-7, então (-1)\cdot5-(-7)\cdot1=-5-(-7)=-5+7=2. Multiplicando pelo coeficiente -(-3)=3 3\cdot2=6.
  • Terceiro termo: (-1)\cdot(-8)=8 e 14\cdot1=14, então 8-14=-6. Multiplicando por 5 5\cdot(-6)=-30.
Somando os três resultados: 28+6-30=4. Logo
\det(B)=4.]

Passo 7

Como \det(A)=1\cdot\det(B) (pela expansão pela primeira coluna depois das operações), obtemos
\det(A)=4\neq 0.
Interpretação: o determinante não nulo mostra que as colunas de A (isto é, os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 obtidos a partir das matrizes) são linearmente independentes.

Passo 8

Conclusão final (ligando ao conceito de base):
  • Temos quatro vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 4 ( \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R})). Logo eles formam uma base de \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}).
  • Em outras palavras: os quatro matrizes dados são linearmente independentes e, por serem quatro em um espaço de dimensão 4, geram todo \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

Sim. As quatro matrizes formam uma base de \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}) (o determinante da matriz formada por suas colunas é 4\neq0).

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