A pergunta pede: verificar se esse conjunto de vetores geradores constitui uma base para o espaço \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}).
As informações relevantes que temos são exatamente as quatro matrizes acima e o fato implícito de que o espaço alvo é \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}).
Passo 2
O que significa “ser uma base” (explicação didática sem pular etapas):
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é simultaneamente gerador (spanning) e linearmente independente.
O espaço \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4. Explicando por que: uma matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes \,m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}\,, então um conjunto de quatro vetores linearmente independentes já forma uma base.
Portanto, para provar que as quatro matrizes dadas formam uma base basta mostrar que elas são linearmente independentes (pois são exatamente quatro vetores num espaço de dimensão 4; ter 4 vetores independentes implica formar base).
Como testar independência de 4 vetores em dimensão 4? Uma maneira prática é transformar cada matriz em um vetor em \mathbb{R}^4 (por exemplo ordenando as entradas como (m_{11},m_{12},m_{21},m_{22})) e calcular o determinante de uma matriz 4\times4 cujas colunas são esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes.
Passo 3
Passo concreto: converter cada matriz em um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordem (m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}).
Explicação didática: se \det(A)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes; isso vem do fato de que \det(A)=0 significa que as colunas são linearmente dependentes (propriedade básica de determinante).]
Passo 5
Vamos calcular \det(A) com operações elementares (mostrando cada passo para que dê para reproduzir na prova sem calculadora complicada). Começamos aplicando operações de linha que não mudam o determinante (ou que mudam de forma controlada; aqui usaremos apenas combinações que deixam o determinante inalterado: somar múltiplos de uma linha a outra).
Comentário: como a primeira coluna agora tem apenas um elemento não nulo (o 1 na primeira linha), podemos desenvolver o determinante pela primeira coluna: \det(A)=1\cdot\det(B), onde B é a submatriz 3\times3 obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna.]
Primeiro termo: 14\cdot5=70 e (-7)\cdot(-8)=56, então 14\cdot5-(-7)\cdot(-8)=70-56=14. Multiplicando por 2 dá 28.
Segundo termo: (-1)\cdot5=-5 e (-7)\cdot1=-7, então (-1)\cdot5-(-7)\cdot1=-5-(-7)=-5+7=2. Multiplicando pelo coeficiente -(-3)=3 dá 3\cdot2=6.
Terceiro termo: (-1)\cdot(-8)=8 e 14\cdot1=14, então 8-14=-6. Multiplicando por 5 dá 5\cdot(-6)=-30.
Somando os três resultados: 28+6-30=4. Logo
\det(B)=4.]
Passo 7
Como \det(A)=1\cdot\det(B) (pela expansão pela primeira coluna depois das operações), obtemos
\det(A)=4\neq 0.
Interpretação: o determinante não nulo mostra que as colunas de A (isto é, os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 obtidos a partir das matrizes) são linearmente independentes.
Passo 8
Conclusão final (ligando ao conceito de base):
Temos quatro vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 4 (\boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R})). Logo eles formam uma base de \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}).
Em outras palavras: os quatro matrizes dados são linearmente independentes e, por serem quatro em um espaço de dimensão 4, geram todo \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}).
Resposta
Sim. As quatro matrizes formam uma base de \boldsymbol{M}_{2}(\mathbb{R}) (o determinante da matriz formada por suas colunas é 4\neq0).