Questão 04.

Considere os seguintes subespaços vetoriais do espaço \mathbb{R}^{\mathbf{3}} :
\begin{gathered} W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x+y+z=0\right\} \\\ W_{2}=[(1,1,1),(-1,-1,1)] \end{gathered}
a) ( \mathbf{0 , 5} val.) Verifique se o vetor (\mathbf{2 , 2 , 1}) pertence ao subespaço \boldsymbol{W}_{\mathbf{2}}.
b) (1,0 val.) Determine uma base e a respetiva dimensão para a interseção \boldsymbol{W}_{\mathbf{1}} \cap \boldsymbol{W}_{\mathbf{2}}.
c) (1,0 val.) Determine uma base e a respetiva dimensão para a soma W_{1}+W_{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados:
    • W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x+y+z=0\}.
    • W_{2}=[(1,1,1),(-1,-1,1)], isto é, W_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,1),(-1,-1,1)\}.
    • O vetor a testar é (2,2,1).
  • Perguntas:
    a) Verificar se (2,2,1)\in W_{2}.
    b) Determinar uma base e a dimensão de W_{1}\cap W_{2}.
    c) Determinar uma base e a dimensão de W_{1}+W_{2}.

Passo 2

Parte (a): estratégia e tradução do problema para sistema linear.
  • Para testar se um vetor pertence a um subespaço gerado por vetores, a maneira direta é tentar escrever o vetor como combinação linear desses geradores.
  • Então procuramos escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha(1,1,1)+\beta(-1,-1,1)=(2,2,1).
  • Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema \begin{cases} \alpha-\beta=2,\\[4pt] \alpha-\beta=2,\\[4pt] \alpha+\beta=1. \end{cases}Note que as duas primeiras equações são idênticas (vem das coordenadas x\] e \(y).]

Passo 3

Resolução do sistema da parte (a) e verificação.
  • Das primeiras equações temos \alpha-\beta=2. Da terceira temos \alpha+\beta=1.
  • Somando as duas equações: (\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)=2+1 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha=3 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\tfrac{3}{2}.
  • Substituindo em \alpha-\beta=2 obtemos \tfrac{3}{2}-\beta=2 \quad\Rightarrow\quad \beta=\tfrac{3}{2}-2=-\tfrac{1}{2}.
  • Como existe solução (\alpha,\beta)=(\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}), concluímos que (2,2,1) pertence a W_{2}. Uma expressão explícita é (2,2,1)=\tfrac{3}{2}(1,1,1)-\tfrac{1}{2}(-1,-1,1).(Sempre bom checar: \tfrac{3}{2}(1,1,1)+(-\tfrac{1}{2})(-1,-1,1)=(2,2,1).)

Passo 4

Parte (b): descrição geral de um vetor de W_{2} e imposição da equação de W_{1}.
  • Um vetor genérico de W_{2} tem a forma v=\alpha(1,1,1)+\beta(-1,-1,1)=(\alpha-\beta,\;\alpha-\beta,\;\alpha+\beta).Vou chamar x=\alpha-\beta (observe que y=x nesse vetor) e z=\alpha+\beta.
  • Agora imponho a condição de W_{1}: 2x+y+z=0. Substituindo x e y=x e z em termos de \alpha,\beta, 2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)=0.
  • Simplificando: 2\alpha-2\beta+\alpha-\beta+\alpha+\beta=0 \quad\Rightarrow\quad 4\alpha-2\beta=0.Dividindo por 2 obtemos 2\alpha-\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=2\alpha.

Passo 5

Determinar a forma dos vetores da interseção e extrair base e dimensão.
  • Substituindo \beta=2\alpha na expressão do vetor em W_{2}: v=(\alpha-\beta,\;\alpha-\beta,\;\alpha+\beta)=(\alpha-2\alpha,\;\alpha-2\alpha,\;\alpha+2\alpha)=(-\alpha,-\alpha,3\alpha).
  • Assim todo vetor de W_{1}\cap W_{2} é múltiplo escalar de (-1,-1,3). Logo W_{1}\cap W_{2}=\operatorname{span}\{(-1,-1,3)\}.
  • Portanto uma base é \{(-1,-1,3)\} e a dimensão é 1.

Passo 6

Parte (c): dimensão da soma e escolha de uma base.
  • Primeiro calculo as dimensões individuais:
    • W_{1} é um plano em \mathbb{R}^3 dado por uma única equação linear não trivial, logo \dim W_{1}=2.
    • W_{2} é gerado por (1,1,1) e (-1,-1,1). Verifico independência: se \gamma(1,1,1)+\delta(-1,-1,1)=0 então \gamma-\delta=0 e \gamma+\delta=0, daí \gamma=\delta=0. Logo são independentes e \dim W_{2}=2.
  • Uso a fórmula da dimensão da soma: \dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2}).Substituindo valores: \dim(W_{1}+W_{2})=2+2-1=3.
  • Como \dim(W_{1}+W_{2})=3 em \mathbb{R}^3, segue que W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^3.
  • Qualquer base de \mathbb{R}^3 serve como base para W_{1}+W_{2}. Para ser mais conectado aos geradores dados, uma escolha conveniente é tomar os dois geradores de W_{2} juntos com um vetor de W_{1} que não pertença a W_{2}, por exemplo (1,0,-2) (verifico: 2\cdot1+0+(-2)=0, então (1,0,-2)\in W_{1}; e não está em \operatorname{span}\{(1,1,1),(-1,-1,1)\} porque suas coordenadas não satisfazem as relações daquela forma). Assim um conjunto gerador de três vetores independentes é \{(1,1,1),\;(-1,-1,1),\;(1,0,-2)\},que forma uma base de W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^3.
  • Portanto \dim(W_{1}+W_{2})=3 e uma base é, por exemplo, \{(1,1,1),(-1,-1,1),(1,0,-2)\}. (Alternativamente pode-se dar a base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} já que o subespaço é todo \mathbb{R}^3.)

Resposta

a) Sim. (2,2,1)=\tfrac{3}{2}(1,1,1)-\tfrac{1}{2}(-1,-1,1), logo (2,2,1)\in W_{2}.
b) Uma base de W_{1}\cap W_{2} é \{(-1,-1,3)\}. Dimensão =1.
c) W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}. Uma base é \{(1,1,1),(-1,-1,1),(1,0,-2)\}. Dimensão =3.

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