Questão 10. Demonstre que:
c)
.
c)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a fórmula fechada da soma dos quadrados dos primeiros
números ímpares:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A soma é sobre os
primeiros números ímpares, isto é, sobre os termos para . - A tarefa é provar que essa soma é igual à expressão à direita para todo
natural.
Passo 2
Escrevo a soma de forma indexada (mais conveniente para manipular):
Agora vou expandir o quadrado em cada termo. Usando a identidade
com
e
, obtemos
Pelo princípio da linearidade da soma (a soma da soma é soma das somas), então
Agora preciso das fórmulas para
,
e
.
Passo 3
A primeira soma é trivial:
pois estamos somando
exatamente
vezes.
A segunda soma é a soma dos primeiros
inteiros. A fórmula clássica é
Pequena justificativa dessa fórmula (método da emparelhamento): escreva a soma na ordem direta e inversa e some termo a termo:
Somando as duas expressões termo a termo dá
com
parcelas, logo
e daí
.
Passo 4
Falta a fórmula para a soma dos quadrados:
Vou demonstrar essa fórmula por indução (é um método simples e direto).
Base da indução: para
,
e a fórmula dá
. Logo vale para
.
Passo indutivo: suponha que a fórmula vale para algum
natural, isto é,
Considere
. Temos
Aplicando a hipótese de indução:
Coloco tudo sobre o mesmo denominador
:
Fatoro
no numerador:
Desenvolvo e simplifico dentro do parêntese:
Então
Observe que isso é exatamente a mesma fórmula com
substituído por
:
Portanto a fórmula vale para
. Como vale para
e a propriedade é herdada para
, por indução a fórmula é verdadeira para todo
.
Passo 5
Agora retorno à expressão obtida no Passo 2 e substituo as fórmulas:
Substituindo:
Simplifico cada termo cuidadosamente. Primeiro o coeficiente
dividido por
dá
:
O segundo termo:
. Então
Coloco tudo sobre o denominador
:
Agora desenvolvo e simplifico o numerador passo a passo.
Calculo
:
Calculo
. Então o numerador fica:
Simplificando termos semelhantes:
Logo
Factorizo
no numerador:
que é exatamente a fórmula que queríamos demonstrar.
Passo 6
(Faço uma checagem numérica rápida para ganhar confiança:) para
a soma é
. A fórmula dá
. Confere.