Questão 10. Demonstre que:
c) 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula fechada da soma dos quadrados dos primeiros n números ímpares:
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n\left(4n^{2}-1\right)}{3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A soma é sobre os n primeiros números ímpares, isto é, sobre os termos (2k-1) para k=1,2,\dots,n.
  • A tarefa é provar que essa soma é igual à expressão à direita para todo n natural.

Passo 2

Escrevo a soma de forma indexada (mais conveniente para manipular):
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}.
Agora vou expandir o quadrado em cada termo. Usando a identidade (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} com a=2k e b=1, obtemos
(2k-1)^{2}=4k^{2}-4k+1.
Pelo princípio da linearidade da soma (a soma da soma é soma das somas), então
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\sum_{k=1}^{n}\bigl(4k^{2}-4k+1\bigr) =4\sum_{k=1}^{n}k^{2}-4\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1.
Agora preciso das fórmulas para \sum_{k=1}^{n}1, \sum_{k=1}^{n}k e \sum_{k=1}^{n}k^{2}.

Passo 3

A primeira soma é trivial:
\sum_{k=1}^{n}1=n,
pois estamos somando 1 exatamente n vezes.
A segunda soma é a soma dos primeiros n inteiros. A fórmula clássica é
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
Pequena justificativa dessa fórmula (método da emparelhamento): escreva a soma na ordem direta e inversa e some termo a termo:
S=\;1+2+3+\cdots+n, \qquad S=\;n+(n-1)+(n-2)+\cdots+1.
Somando as duas expressões termo a termo dá 2S=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1) com n parcelas, logo 2S=n(n+1) e daí S=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

Falta a fórmula para a soma dos quadrados:
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Vou demonstrar essa fórmula por indução (é um método simples e direto).
Base da indução: para n=1,
\sum_{k=1}^{1}k^{2}=1^{2}=1,
e a fórmula dá \dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1. Logo vale para n=1.
Passo indutivo: suponha que a fórmula vale para algum n natural, isto é,
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Considere n+1. Temos
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\left(\sum_{k=1}^{n}k^{2}\right)+(n+1)^{2}.
Aplicando a hipótese de indução:
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador 6:
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}.
Fatoro (n+1) no numerador:
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\frac{(n+1)\bigl(n(2n+1)+6(n+1)\bigr)}{6}.
Desenvolvo e simplifico dentro do parêntese:
n(2n+1)+6(n+1)=2n^{2}+n+6n+6=2n^{2}+7n+6=(n+2)(2n+3).
Então
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.
Observe que isso é exatamente a mesma fórmula com n substituído por n+1:
\frac{(n+1)\bigl((n+1)+1\bigr)\bigl(2(n+1)+1\bigr)}{6}.
Portanto a fórmula vale para n+1. Como vale para n=1 e a propriedade é herdada para n+1, por indução a fórmula é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Agora retorno à expressão obtida no Passo 2 e substituo as fórmulas:
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=4\sum_{k=1}^{n}k^{2}-4\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1.
Substituindo:
=4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n.
Simplifico cada termo cuidadosamente. Primeiro o coeficiente 4 dividido por 6 \dfrac{2}{3}:
4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2\,n(n+1)(2n+1)}{3}.
O segundo termo: 4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=2n(n+1). Então
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\frac{2\,n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n.
Coloco tudo sobre o denominador 3:
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\frac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{3}.
Agora desenvolvo e simplifico o numerador passo a passo.
Calculo 2n(n+1)(2n+1):
2n(n+1)(2n+1)=2n\bigl(2n^{2}+3n+1\bigr)=4n^{3}+6n^{2}+2n.
Calculo 6n(n+1)=6n^{2}+6n. Então o numerador fica:
(4n^{3}+6n^{2}+2n)-(6n^{2}+6n)+3n=4n^{3}+(6n^{2}-6n^{2})+(2n-6n+3n).
Simplificando termos semelhantes:
4n^{3}+0+( -n)=4n^{3}-n.
Logo
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\frac{4n^{3}-n}{3}.
Factorizo n no numerador:
\frac{4n^{3}-n}{3}=\frac{n(4n^{2}-1)}{3},
que é exatamente a fórmula que queríamos demonstrar.

Passo 6

(Faço uma checagem numérica rápida para ganhar confiança:) para n=2 a soma é 1^{2}+3^{2}=1+9=10. A fórmula dá \dfrac{2(4\cdot 4-1)}{3}=\dfrac{2(16-1)}{3}=\dfrac{2\cdot 15}{3}=10. Confere.

Resposta

1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n\left(4n^{2}-1\right)}{3}.

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