Questão 11. Calcule o valor da soma \frac{40^{2}-38^{2}}{39}+\frac{38^{2}-36^{2}}{37}+\frac{36^{2}-34^{2}}{35}+\ldots+\frac{4^{2}-2^{2}}{3}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma
\frac{40^{2}-38^{2}}{39}+\frac{38^{2}-36^{2}}{37}+\frac{36^{2}-34^{2}}{35}+\ldots+\frac{4^{2}-2^{2}}{3}.
Informações dadas:
  • Cada termo tem a forma \dfrac{a^{2}-b^{2}}{c} com a e b números pares consecutivos descendentes (por exemplo 40 e 38) e o denominador igual ao número ímpar entre eles (por exemplo 39).
  • A soma vai do par (40,38) até o par (4,2).
    O que se pede: calcular o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Vamos usar a identida de diferença de quadrados. Para quaisquer números x e y vale
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Aplique isso ao termo genérico formado por dois pares consecutivos pares. Seja a=2n e b=2n-2 (com n inteiro). Então:
a-b=2, \qquad a+b=4n-2, \qquad \text{o denominador é }2n-1=\frac{a+b}{2}.é
Agora calcule o termo genérico:
\frac{a^{2}-b^{2}}{2n-1} = \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)/2} = (a-b)\cdot 2.
Como a-b=2, cada termo vale
(a-b)\cdot 2 = 2\cdot 2 = 4.
Comentário didático: a simplificação acima usa que dividir por (a+b)/2 é o mesmo que multiplicar por 2/(a+b), e como (a^2-b^2)/(a+b)=a-b sobra apenas 2(a-b).

Passo 3

Agora só falta contar quantos termos existem na soma. Os pares superiores a tomam os valores 40,38,36,\dots,4. Esses correspondem a n=20,19,\dots,2. O número de valores de n é
20-2+1=19.
Outra visão: há 20 números pares de 2 a 40, logo existem 20-1=19 pares consecutivos.

Passo 4

Cada um dos 19 termos vale \,4. Portanto a soma é
S = 19\cdot 4.

Resposta

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