Questão 11. Calcule o valor da soma
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da soma
Informações dadas:
- Cada termo tem a forma
com e números pares consecutivos descendentes (por exemplo e ) e o denominador igual ao número ímpar entre eles (por exemplo ). - A soma vai do par
até o par .
O que se pede: calcular o valor numérico dessa soma.
Passo 2
Vamos usar a identida de diferença de quadrados. Para quaisquer números
e
vale
Aplique isso ao termo genérico formado por dois pares consecutivos pares. Seja
e
(com
inteiro). Então:
Agora calcule o termo genérico:
Como
, cada termo vale
Comentário didático: a simplificação acima usa que dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, e como
sobra apenas
.
Passo 3
Agora só falta contar quantos termos existem na soma. Os pares superiores
tomam os valores
. Esses correspondem a
. O número de valores de
é
Outra visão: há
números pares de
a
, logo existem
pares consecutivos.
Passo 4
Cada um dos
termos vale
. Portanto a soma é