Questão 12 (PUC-PR). Nicômaco de Gerasa, um matemático grego que viveu no terceiro século da nossa era, apontou as seguintes propriedades dos cubos dos números naturais:
1^{3}=1
2^{3}=3+5
3^{3}=7+9+11
\vdots=\vdots
Com base nas indicações fornecidas por Nicômaco, calcule a soma dos cubos dos vinte primeiros números inteiros: 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+20^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos cubos dos vinte primeiros inteiros:
1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+20^{3}.
Ele também dá as indicações de Nicômaco de Gerasa, que mostram exemplos:
1^{3}=1, \qquad 2^{3}=3+5, \qquad 3^{3}=7+9+11, \qquad\ldots
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada k^{3} aparece como soma de k números ímpares consecutivos (no exemplo, 3^{3} é soma de 3 ímpares consecutivos).
  • O que se pede é o valor numérico da soma \sum_{k=1}^{20} k^{3}.

Passo 2

Vamos provar uma propriedade básica sobre números ímpares que será útil: a soma dos primeiros m números ímpares vale m^{2}.
Prova curta e direta. Os primeiros m ímpares são
1,3,5,\dots,2m-1.
Observe que
j^{2}-(j-1)^{2}=2j-1
para todo j\ge1. Somando esta identidade para j=1 até j=m obtemos
\sum_{j=1}^{m}\big(j^{2}-(j-1)^{2}\big)=\sum_{j=1}^{m}(2j-1).
No lado esquerdo a soma telescopa e resta m^{2}-0=m^{2}. Logo
\sum_{j=1}^{m}(2j-1)=m^{2},
ou seja, a soma dos primeiros m ímpares é m^{2}. (Isso é muito útil e fácil de decorar.)

Passo 3

Agora explico direitinho a observação de Nicômaco em forma geral: para cada k\ge1,
k^{3}
é a soma de k números ímpares consecutivos com centro em k^{2}. Em outras palavras, os k termos são
k^{2}-(k-1),\; k^{2}-(k-3),\; \dots,\; k^{2}+(k-3),\; k^{2}+(k-1).
Esses k termos são ímpares (verifique a paridade: k^{2} e k-1 têm paridades que garantem diferença ímpar) e formam uma progressão aritmética com razão 2. A média aritmética desses k termos é exatamente o termo central k^{2}. Então a soma é
\text{(nº de termos)}\times\text{(média)}=k\times k^{2}=k^{3}.ºé
Isso explica por que os exemplos dados (por exemplo 3^{3}=7+9+11) funcionam em geral.

Passo 4

Agora somamos essa decomposição para k=1 até k=n (a ideia é a clássica demonstração de que a soma dos cubos é o quadrado da soma dos naturais).
Ao somar k^{3} para k=1,\dots,n estamos somando blocos de ímpares onde o bloco k tem exatamente k termos. Assim o total de termos ímpares somados é
1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
E esses termos ímpares são exatamente os primeiros \dfrac{n(n+1)}{2} números ímpares (começando em 1), porque os blocos, conforme k aumenta, seguem-se sem lacunas. Pelo Passo 2, a soma dos primeiros M ímpares é M^{2}. Tomando
M=\frac{n(n+1)}{2},
concluímos que
\sum_{k=1}^{n}k^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Esta é a fórmula geral e muito útil:
1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula com n=20. Primeiro calculamos \dfrac{n(n+1)}{2}:
\frac{20\cdot 21}{2}=\frac{420}{2}=210.
Portanto
1^{3}+2^{3}+\cdots+20^{3} = 210^{2}.

Passo 6

Calcule 210^{2} de maneira simples: 210=21\cdot10, então
210^{2}=(21\cdot10)^{2}=21^{2}\cdot10^{2}=441\cdot100=44100.

Resposta

44100

Exercícios relacionados