Questão 12 (PUC-PR). Nicômaco de Gerasa, um matemático grego que viveu no terceiro século da nossa era, apontou as seguintes propriedades dos cubos dos números naturais:
Com base nas indicações fornecidas por Nicômaco, calcule a soma dos cubos dos vinte primeiros números inteiros:
.
Com base nas indicações fornecidas por Nicômaco, calcule a soma dos cubos dos vinte primeiros números inteiros:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma dos cubos dos vinte primeiros inteiros:
Ele também dá as indicações de Nicômaco de Gerasa, que mostram exemplos:
Informações relevantes fornecidas:
- Cada
aparece como soma de números ímpares consecutivos (no exemplo, é soma de 3 ímpares consecutivos). - O que se pede é o valor numérico da soma
.
Passo 2
Vamos provar uma propriedade básica sobre números ímpares que será útil: a soma dos primeiros
números ímpares vale
.
Prova curta e direta. Os primeiros
ímpares são
Observe que
para todo
. Somando esta identidade para
até
obtemos
No lado esquerdo a soma telescopa e resta
. Logo
ou seja, a soma dos primeiros
ímpares é
. (Isso é muito útil e fácil de decorar.)
Passo 3
Agora explico direitinho a observação de Nicômaco em forma geral: para cada
,
é a soma de
números ímpares consecutivos com centro em
. Em outras palavras, os
termos são
Esses
termos são ímpares (verifique a paridade:
e
têm paridades que garantem diferença ímpar) e formam uma progressão aritmética com razão
. A média aritmética desses
termos é exatamente o termo central
. Então a soma é
Isso explica por que os exemplos dados (por exemplo
) funcionam em geral.
Passo 4
Agora somamos essa decomposição para
até
(a ideia é a clássica demonstração de que a soma dos cubos é o quadrado da soma dos naturais).
Ao somar
para
estamos somando blocos de ímpares onde o bloco
tem exatamente
termos. Assim o total de termos ímpares somados é
E esses termos ímpares são exatamente os primeiros
números ímpares (começando em
), porque os blocos, conforme
aumenta, seguem-se sem lacunas. Pelo Passo 2, a soma dos primeiros
ímpares é
. Tomando
concluímos que
Esta é a fórmula geral e muito útil:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula com
. Primeiro calculamos
:
Portanto
Passo 6
Calcule
de maneira simples:
, então