Questão 13. Calcule a soma de todos os termos positivos obtidos interpolando-se 98 meios aritméticos entre - 382 e 113.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a soma de todos os termos positivos obtidos ao interpolar 98 meios aritméticos entre -382 e 113.
Informações dadas:
  • Extremidades da interpolação: a_1 = -382 e a_{?}=113.
  • Foram inseridos 98 meios aritméticos entre esses dois números.
  • O que se quer: a soma de todos os termos positivos dessa sequência resultante.

Passo 2

Interpretando “inserir 98 meios aritméticos”: ao inserir k meios aritméticos entre dois termos, obtemos uma progressão aritmética com k+2 termos no total (os dois extremos mais os k meios). Aqui k=98, logo o total de termos é
98+2=100.
Portanto temos uma progressão aritmética (PA) com 100 termos cuja primeira termo é -382 e o centésimo termo é 113.

Passo 3

Para uma PA com n termos, diferença comum d pode ser obtida por
d=\frac{a_n-a_1}{n-1}.
Aqui a_1=-382, a_{100}=113 e n=100. Então
d=\frac{113-(-382)}{100-1}=\frac{113+382}{99}=\frac{495}{99}=5.
Ou seja, a PA aumenta de 5 em 5.

Passo 4

Escrevendo a fórmula do termo geral da PA:
a_n=a_1+(n-1)d.
Substituindo a_1=-382 e d=5,
a_n=-382+5(n-1).

Passo 5

Agora precisamos identificar quais termos são positivos. Resolvemos a desigualdade a_n>0:
-382+5(n-1)>0.
Isolando n:
5(n-1)>382 \quad\Rightarrow\quad n-1>76{,}4 \quad\Rightarrow\quad n>77{,}4.
O menor índice inteiro que satisfaz isso é n=78. Verificação direta:
a_{78}=-382+5\cdot(78-1)=-382+5\cdot77=-382+385=3>0.
Logo o primeiro termo positivo é a_{78}=3.

Passo 6

Os termos positivos vão de n=78 até n=100 inclusive. O número de termos positivos é
100-78+1=23.
Portanto há 23 termos positivos.

Passo 7

Os termos positivos formam uma PA com primeiro termo 3, último termo 113 e 23 termos. A soma de k termos de uma PA é
S=\frac{k}{2}\,(a_{\text{primeiro}}+a_{\text{último}}).ú
Aplicando aqui:
S=\frac{23}{2}\,(3+113)=\frac{23}{2}\cdot116=23\cdot58.
Calculando:
23\cdot58=(20\cdot58)+(3\cdot58)=1160+174=1334.

Passo 8

Resumo rápido: diferença d=5, primeiro termo positivo 3 (índice 78), quantidade de termos positivos 23, soma 1334. Força aí — já era o trabalho pesado!

Resposta

1334

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