Questão 13. Calcule a soma de todos os termos positivos obtidos interpolando-se 98 meios aritméticos entre - 382 e 113.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a soma de todos os termos positivos obtidos ao interpolar 98 meios aritméticos entre
e
.
Informações dadas:
- Extremidades da interpolação:
e . - Foram inseridos
meios aritméticos entre esses dois números. - O que se quer: a soma de todos os termos positivos dessa sequência resultante.
Passo 2
Interpretando “inserir
meios aritméticos”: ao inserir
meios aritméticos entre dois termos, obtemos uma progressão aritmética com
termos no total (os dois extremos mais os
meios). Aqui
, logo o total de termos é
Portanto temos uma progressão aritmética (PA) com
termos cuja primeira termo é
e o centésimo termo é
.
Passo 3
Para uma PA com
termos, diferença comum
pode ser obtida por
Aqui
,
e
. Então
Ou seja, a PA aumenta de
em
.
Passo 4
Escrevendo a fórmula do termo geral da PA:
Substituindo
e
,
Passo 5
Agora precisamos identificar quais termos são positivos. Resolvemos a desigualdade
:
Isolando
:
O menor índice inteiro que satisfaz isso é
. Verificação direta:
Logo o primeiro termo positivo é
.
Passo 6
Os termos positivos vão de
até
inclusive. O número de termos positivos é
Portanto há
termos positivos.
Passo 7
Os termos positivos formam uma PA com primeiro termo
, último termo
e
termos. A soma de
termos de uma PA é
Aplicando aqui:
Calculando:
Passo 8
Resumo rápido: diferença
, primeiro termo positivo
(índice
), quantidade de termos positivos
, soma
. Força aí — já era o trabalho pesado!
Resposta
1334