Questão 14 (IME-2015/2016). A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244 . O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1 . Determine a razão da primeira progressão aritmética.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A primeira progressão aritmética (que chamarei de “PA original”) tem primeiro termo
, razão e número de termos . - A soma dos
termos dessa PA é . - Os três números
, , , nessa ordem, formam outra progressão aritmética cuja razão é .
O que o problema pede:
- Determinar a razão
da PA original.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A soma da PA original é
. - Como
é uma PA de razão , vale que e . A partir disso podemos expressar e em função de , ou e em função de . Também sabemos que é um inteiro positivo (número de termos).
Passo 2
Fórmula da soma dos
termos de uma PA (lembrete e derivação curta):
- O enésimo (último) termo da PA é
. - A soma dos
termos pode ser escrita como média do primeiro e último termo vezes :
- Simplificando:
Vou usar essa fórmula e as relações entre
dadas pela PA de razão
.
Passo 3
Explorar a condição de que
é uma PA com razão
.
- Da definição de PA com razão
temos:
- Substituindo
em obtemos
- Assim podemos escrever
e em função de . Isolando :
e então
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da soma e montar a equação para
.
- A fórmula da soma era
. Substituindo e :
- Calcular passo a passo o conteúdo entre parênteses:
- Somando:
- Portanto
- Como
, obtemos a equação
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Expandindo:
Passo 5
Resolver a equação cúbica
sabendo que
é um inteiro positivo.
- Como
é número de termos, buscamos soluções inteiras positivas. Pela técnica prática (teorema das raízes racionais / tentativa de divisores de ), testamos valores inteiros. - Testando
:
- Logo
é uma raiz. Como queremos inteiro positivo, tomamos . - (Para completar: dividindo o polinômio por
obtém-se o quociente , cuja discriminante é negativa, então as outras duas raízes são complexas; portanto a única raiz inteira positiva é .)
Passo 6
Encontrar
a partir de
.
- Lembrando que
, substituindo dá
Passo 7
Verificação rápida (checagem):
- Com
, e . - Soma calculada:
. Confere com o enunciado.
Resposta
7