Questão 14 (IME-2015/2016). A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244 . O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1 . Determine a razão da primeira progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A primeira progressão aritmética (que chamarei de “PA original”) tem primeiro termo \,a, razão \,d e número de termos \,n.
  • A soma dos n termos dessa PA é \,244.
  • Os três números \,a, \,d, \,n, nessa ordem, formam outra progressão aritmética cuja razão é 1.
O que o problema pede:
  • Determinar a razão \,d da PA original.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A soma da PA original é \displaystyle S_n=244.
  • Como (a,d,n) é uma PA de razão 1, vale que d-a=1 e n-d=1. A partir disso podemos expressar d e n em função de a, ou a e d em função de n. Também sabemos que n é um inteiro positivo (número de termos).

Passo 2

Fórmula da soma dos n termos de uma PA (lembrete e derivação curta):
  • O enésimo (último) termo da PA é \,a_{n}=a+(n-1)d.
  • A soma dos n termos pode ser escrita como média do primeiro e último termo vezes n:
S_n = \frac{n}{2}\,(a + a_n)=\frac{n}{2}\bigl(a + (a+(n-1)d)\bigr).
  • Simplificando:
S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a+(n-1)d\bigr).
Vou usar essa fórmula e as relações entre a,d,n dadas pela PA de razão 1.

Passo 3

Explorar a condição de que (a,d,n) é uma PA com razão 1.
  • Da definição de PA com razão 1 temos:
d = a+1 \qquad\text{e}\qquad n = d+1.
  • Substituindo d=a+1 em n=d+1 obtemos
n = (a+1)+1 = a+2.
  • Assim podemos escrever a e d em função de n. Isolando a:
a = n-2,
e então
d = a+1 = (n-2)+1 = n-1.

Passo 4

Substituir a e d na fórmula da soma e montar a equação para n.
  • A fórmula da soma era \displaystyle S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a+(n-1)d\bigr). Substituindo a=n-2 e d=n-1:
S_n = \frac{n}{2}\Bigl(2(n-2) + (n-1)(n-1)\Bigr).
  • Calcular passo a passo o conteúdo entre parênteses:
2(n-2) = 2n-4,
(n-1)(n-1) = (n-1)^2 = n^2 -2n +1.
  • Somando:
2n-4 + n^2 -2n +1 = n^2 -3.
  • Portanto
S_n = \frac{n}{2}\,(n^2-3).
  • Como S_n=244, obtemos a equação
\frac{n}{2}\,(n^2-3)=244.
  • Multiplicando ambos os lados por 2:
n(n^2-3)=488.
  • Expandindo:
n^3 - 3n - 488 = 0.

Passo 5

Resolver a equação cúbica \,n^3 - 3n - 488 = 0 sabendo que n é um inteiro positivo.
  • Como n é número de termos, buscamos soluções inteiras positivas. Pela técnica prática (teorema das raízes racionais / tentativa de divisores de 488), testamos valores inteiros.
  • Testando n=8:
8^3 - 3\cdot 8 - 488 = 512 - 24 - 488 = 0.
  • Logo n=8 é uma raiz. Como queremos n inteiro positivo, tomamos n=8.
  • (Para completar: dividindo o polinômio por (n-8) obtém-se o quociente n^2+8n+61, cuja discriminante é negativa, então as outras duas raízes são complexas; portanto a única raiz inteira positiva é n=8.)

Passo 6

Encontrar \,d a partir de n.
  • Lembrando que d=n-1, substituindo n=8
d = 8-1 = 7.

Passo 7

Verificação rápida (checagem):
  • Com n=8, a=n-2=6 e d=7.
  • Soma calculada: \displaystyle S_8=\frac{8}{2}\bigl(2\cdot 6 + (8-1)\cdot 7\bigr)=4(12 + 49)=4\cdot 61=244. Confere com o enunciado.

Resposta

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