Questão 4 - (14 pontos) De 600 moradores, aleatoriamente selecionados, de uma cidade em que a base da economia é a indústria, 450 são favoráveis a um projeto de lei, e de uma amostra de 240 moradores, aleatoriamente selecionados, de uma cidade cuja principal atividade é a agricultura, 150 são favoráveis. Teste a hipótese de que a proporção populacional de moradores favoráveis é maior na cidade industrial do que na cidade que a base da economia é a agricultura. Use o nível de significância de 5 \%. Qual sua conclusão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Informação da amostra 1 (cidade industrial):
    • tamanho da amostra: n_1=600
    • número favoráveis: x_1=450
  • Informação da amostra 2 (cidade agrícola):
    • tamanho da amostra: n_2=240
    • número favoráveis: x_2=150
  • Nível de significância: \alpha=0,05.
O enunciado pede: testar, ao nível de significância de 5\%, se a proporção populacional de moradores favoráveis é maior na cidade industrial do que na cidade agrícola. Em termos de hipótese estatística, isso significa testar se p_1>p_2, onde p_1 é a proporção na cidade industrial e p_2 é a proporção na cidade agrícola.

Passo 2

Definir formalmente as hipóteses e explicar o teste que vamos usar.
  • Hipóteses: H_0:\; p_1 = p_2
H_a:\; p_1 > p_2
Aqui p_1 e p_2 são as proporções verdadeiras de moradores favoráveis nas populações das duas cidades.
  • Qual teste usar e por quê (explicação didática):
    Para comparar duas proporções com amostras grandes, usa-se o teste z para diferença de proporções. A ideia é que, sob H_0 (onde p_1=p_2=p), a diferença das proporções amostrais \hat p_1-\hat p_2 é aproximadamente normal com média zero e desvio padrão calculado a partir da proporção pooled (combinada). Usamos a proporção pooled porque sob H_0 assumimos uma única proporção comum p para as duas populações.
  • Fórmula do estimador pooled e do estatístico z (explicando cada símbolo):
    \hat p_1=\frac{x_1}{n_1},\qquad \hat p_2=\frac{x_2}{n_2}
\hat p = \frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}
\text{Erro padrão sob }H_0:\quad SE=\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}ã
Z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{SE}
Onde \hat p_1 e \hat p_2 são as proporções observadas nas amostras, \hat p é a proporção combinada (pooled), SE é o erro padrão da diferença sob H_0 e Z é o estatístico que segue aproximadamente a distribuição normal padrão quando H_0 é verdadeira e as amostras são suficientemente grandes.

Passo 3

Calcular as proporções amostrais e a proporção pooled, mostrando as contas.
  • Proporções amostrais: \hat p_1=\frac{x_1}{n_1}=\frac{450}{600}=0{,}75
\hat p_2=\frac{x_2}{n_2}=\frac{150}{240}= \frac{15}{24}= \frac{5}{8}=0{,}625
  • Proporção pooled: \hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}=\frac{450+150}{600+240}=\frac{600}{840}=\frac{5}{7}\approx0{,}7142857

Passo 4

Calcular o erro padrão SE com todas as operações explícitas.
  • Primeiro calcule \hat p(1-\hat p):
    \hat p(1-\hat p)=\frac{5}{7}\left(1-\frac{5}{7}\right)=\frac{5}{7}\cdot\frac{2}{7}=\frac{10}{49}\approx0{,}20408163
  • Em seguida calcule \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}:
    \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}=\frac{1}{600}+\frac{1}{240}=0{,}001666\ldots+0{,}004166\ldots=0{,}005833\overline{3}
  • Multiplicando:
    \hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)=\frac{10}{49}\times0{,}005833\overline{3}\approx0{,}00119047619
  • Finalmente o erro padrão:
    SE=\sqrt{0{,}00119047619}\approx0{,}034506

Passo 5

Calcular o valor do estatístico Z e o p-valor, com as contas.
  • Diferença observada das proporções:
    \hat p_1-\hat p_2=0{,}75-0{,}625=0{,}125
  • Estatístico Z:
    Z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{SE}=\frac{0{,}125}{0{,}034506}\approx3{,}62
  • Como o teste é unilateral à direita ( H_a: p_1>p_2), o p-valor é
    \text{p-valor}=P(Z>3{,}62)\approx0{,}00015
    (valor aproximado obtido da tabela da normal padrão; é muito pequeno, bem abaixo de 0{,}05.)

Passo 6

Comparar com o nível de significância e concluir, além de verificar as condições do teste.
  • Região crítica:
    Para \alpha=0{,}05 e teste unilateral à direita, o valor crítico é z_{0{,}95}\approx1{,}645. Como o Z calculado ( \approx3{,}62) é maior que 1{,}645, rejeitamos H_0.
  • Interpretação em termos do p-valor:
    O p-valor \approx0{,}00015 é muito menor que \alpha=0{,}05, então também rejeitamos H_0.
  • Verificação das condições (checagem de validade da aproximação normal):
    As contagens esperadas e observadas são grandes o bastante:
    x_1=450,\quad n_1-x_1=150,\quad x_2=150,\quad n_2-x_2=90
    Todos esses valores são maiores que 5, portanto a aproximação normal para o teste de proporções é adequada.
  • Conclusão prática:
    Há evidência estatística significativa, ao nível de 5\%, de que a proporção de moradores favoráveis é maior na cidade industrial do que na cidade agrícola.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência, ao nível de 5\%, de que a proporção de moradores favoráveis é maior na cidade industrial do que na cidade agrícola (teste Z\approx3{,}62, p-valor \approx0{,}00015).

Exercícios relacionados