Questão 4 - (14 pontos) De 600 moradores, aleatoriamente selecionados, de uma cidade em que a base da economia é a indústria, 450 são favoráveis a um projeto de lei, e de uma amostra de 240 moradores, aleatoriamente selecionados, de uma cidade cuja principal atividade é a agricultura, 150 são favoráveis. Teste a hipótese de que a proporção populacional de moradores favoráveis é maior na cidade industrial do que na cidade que a base da economia é a agricultura. Use o nível de significância de
. Qual sua conclusão?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Informação da amostra 1 (cidade industrial):
- tamanho da amostra:
- número favoráveis:
- tamanho da amostra:
-
Informação da amostra 2 (cidade agrícola):
- tamanho da amostra:
- número favoráveis:
- tamanho da amostra:
-
Nível de significância:
.
O enunciado pede: testar, ao nível de significância de
, se a proporção populacional de moradores favoráveis é maior na cidade industrial do que na cidade agrícola. Em termos de hipótese estatística, isso significa testar se
, onde
é a proporção na cidade industrial e
é a proporção na cidade agrícola.
Passo 2
Definir formalmente as hipóteses e explicar o teste que vamos usar.
- Hipóteses:
Aqui
e
são as proporções verdadeiras de moradores favoráveis nas populações das duas cidades.
-
Qual teste usar e por quê (explicação didática):
Para comparar duas proporções com amostras grandes, usa-se o teste z para diferença de proporções. A ideia é que, sob(onde ), a diferença das proporções amostrais é aproximadamente normal com média zero e desvio padrão calculado a partir da proporção pooled (combinada). Usamos a proporção pooled porque sob assumimos uma única proporção comum para as duas populações. -
Fórmula do estimador pooled e do estatístico z (explicando cada símbolo):
Onde
e
são as proporções observadas nas amostras,
é a proporção combinada (pooled),
é o erro padrão da diferença sob
e
é o estatístico que segue aproximadamente a distribuição normal padrão quando
é verdadeira e as amostras são suficientemente grandes.
Passo 3
Calcular as proporções amostrais e a proporção pooled, mostrando as contas.
- Proporções amostrais:
- Proporção pooled:
Passo 4
Calcular o erro padrão
com todas as operações explícitas.
-
Primeiro calcule
: -
Em seguida calcule
: -
Multiplicando:
-
Finalmente o erro padrão:
Passo 5
Calcular o valor do estatístico
e o p-valor, com as contas.
-
Diferença observada das proporções:
-
Estatístico
: -
Como o teste é unilateral à direita (
), o p-valor é (valor aproximado obtido da tabela da normal padrão; é muito pequeno, bem abaixo de.)
Passo 6
Comparar com o nível de significância e concluir, além de verificar as condições do teste.
-
Região crítica:
Parae teste unilateral à direita, o valor crítico é . Como o calculado ( ) é maior que , rejeitamos . -
Interpretação em termos do p-valor:
O p-valoré muito menor que , então também rejeitamos . -
Verificação das condições (checagem de validade da aproximação normal):
As contagens esperadas e observadas são grandes o bastante:Todos esses valores são maiores que 5, portanto a aproximação normal para o teste de proporções é adequada. -
Conclusão prática:
Há evidência estatística significativa, ao nível de, de que a proporção de moradores favoráveis é maior na cidade industrial do que na cidade agrícola.
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência, ao nível de
, de que a proporção de moradores favoráveis é maior na cidade industrial do que na cidade agrícola (teste
, p-valor
).