Questão 2 - (14 pontos) O gerente de um posto de gasolina está considerando um novo plano de bônus criado para aumentar as vendas. O volume médio atual de vendas é de até 10000 litros mensais. O gerente aplica durante seis meses um plano de bônus e registra o seguinte volume de vendas 10816,17 litros com desvio padrão de 1108,90 litros. Teste a hipótese de que o plano foi bem sucedido ao nível de significância de 10 \%. Qual sua conclusão? Suponha a população normalmente distribuída.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume médio atual (hipótese nula): \mu_0 = 10000 litros.
    • Foram observados n = 6 meses com média amostral \bar{x} = 10816,17 litros (peguei esse número do enunciado).
    • Desvio padrão amostral s = 1108,90 litros (peguei esse número do enunciado).
    • Nível de significância \alpha = 0,10 (10%).
    • Suposição: população normalmente distribuída.
  • O que o enunciado pede:
    • Testar se o plano foi bem sucedido ao nível de significância de 10\%. Em palavras: investigar se o novo plano aumentou o volume médio de vendas.

Passo 2

Escolha do teste e definição das hipóteses (sem cálculos ainda).
  • Como a população é normal, o tamanho amostral é pequeno ( n=6) e o desvio padrão populacional é desconhecido (temos apenas s), o teste apropriado é o teste t para uma média (teste t de Student unilateral).
  • Definições das hipóteses (caso unilateral à direita, pois queremos evidência de aumento): H_0: \mu = 10000
H_a: \mu > 10000
Aqui \mu é a média mensal verdadeira de vendas sob o novo plano. Rejeitar H_0 em favor de H_a significa concluir que há evidência de aumento.

Passo 3

Fórmula do teste e explicação das variáveis.
  • Estatística de teste para uma amostra quando \sigma é desconhecido:
    t \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
    Onde:
    • \bar{x} é a média amostral;
    • \mu_0 é a média sob H_0;
    • s é o desvio padrão amostral;
    • n é o tamanho da amostra;
    • A distribuição do t sob H_0 é a distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Regra de decisão (teste unilateral à direita):
    • Calcular t e comparar com o valor crítico t_{1-\alpha,\,n-1}.
    • Rejeita-se H_0 se t > t_{1-\alpha,\,n-1}.
    • Alternativamente, rejeita-se H_0 se o p-valor for menor que \alpha.

Passo 4

Cálculo numérico da estatística de teste passo a passo.
  • Primeiro calcular o erro padrão da média: \sqrt{n} = \sqrt{6} \approx 2,4495.
\frac{s}{\sqrt{n}} \;=\; \frac{1108,90}{\sqrt{6}} \;\approx\; \frac{1108,90}{2,4495} \;\approx\; 452,71.
  • Agora a estatística t:
    t \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \;=\; \frac{10816,17 - 10000}{452,71} \;=\; \frac{816,17}{452,71} \;\approx\; 1,803.
  • Graus de liberdade: n-1 = 5.

Passo 5

Determinar o valor crítico e decidir.
  • Para teste unilateral à direita com \alpha = 0,10 e 5 graus de liberdade, o valor crítico (tabela t) é aproximadamente
    t_{0,90,\,5} \approx 1,476.
    (ou seja, a região de rejeição é t > 1,476.)
  • Comparação:
    t_{\text{calculado}} \approx 1,803 > 1,476 = t_{\text{crítico}}.í
    Portanto rejeitamos H_0 ao nível de significância \alpha=0,10.

Passo 6

Cálculo (aproximado) do p-valor e interpretação prática.
  • O p-valor unilateral é p = P(T_{5} \ge 1,803), onde T_5 tem distribuição t com 5 graus de liberdade.
  • Usando tabela/interpolação ou calculadora, obtém-se aproximadamente
    p \approx 0,06\text{ a }0,07 \quad(\text{aprox. }0,066).
    Esse p-valor é menor que \alpha=0,10, o que confirma a decisão anterior.
  • Interpretação prática e cautela: com os dados de 6 meses observou-se uma média maior que 10000 e a evidência é suficiente (ao nível de 10\%) para afirmar que o plano aumentou o volume médio. Contudo, a amostra é pequena e o p-valor não é muito pequeno; resultados mais firmes exigiriam amostra maior para reduzir incerteza.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência, ao nível de significância de 10\%, de que o plano aumentou o volume médio de vendas ( t\approx1,803>t_{0,90,5}\approx1,476; p\approx0,066).

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