Questão 2 - (14 pontos) O gerente de um posto de gasolina está considerando um novo plano de bônus criado para aumentar as vendas. O volume médio atual de vendas é de até 10000 litros mensais. O gerente aplica durante seis meses um plano de bônus e registra o seguinte volume de vendas 10816,17 litros com desvio padrão de 1108,90 litros. Teste a hipótese de que o plano foi bem sucedido ao nível de significância de
. Qual sua conclusão? Suponha a população normalmente distribuída.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede.
-
Dados fornecidos:
- Volume médio atual (hipótese nula):
litros. - Foram observados
meses com média amostral litros (peguei esse número do enunciado). - Desvio padrão amostral
litros (peguei esse número do enunciado). - Nível de significância
(10%). - Suposição: população normalmente distribuída.
- Volume médio atual (hipótese nula):
-
O que o enunciado pede:
- Testar se o plano foi bem sucedido ao nível de significância de
. Em palavras: investigar se o novo plano aumentou o volume médio de vendas.
- Testar se o plano foi bem sucedido ao nível de significância de
Passo 2
Escolha do teste e definição das hipóteses (sem cálculos ainda).
- Como a população é normal, o tamanho amostral é pequeno (
) e o desvio padrão populacional é desconhecido (temos apenas ), o teste apropriado é o teste t para uma média (teste t de Student unilateral). - Definições das hipóteses (caso unilateral à direita, pois queremos evidência de aumento):
Aqui
é a média mensal verdadeira de vendas sob o novo plano. Rejeitar
em favor de
significa concluir que há evidência de aumento.
Passo 3
Fórmula do teste e explicação das variáveis.
-
Estatística de teste para uma amostra quando
é desconhecido: Onde:-
é a média amostral; -
é a média sob ; -
é o desvio padrão amostral; -
é o tamanho da amostra; - A distribuição do
sob é a distribuição com graus de liberdade.
-
-
Regra de decisão (teste unilateral à direita):
- Calcular
e comparar com o valor crítico . - Rejeita-se
se . - Alternativamente, rejeita-se
se o p-valor for menor que .
- Calcular
Passo 4
Cálculo numérico da estatística de teste passo a passo.
- Primeiro calcular o erro padrão da média:
-
Agora a estatística
: -
Graus de liberdade:
.
Passo 5
Determinar o valor crítico e decidir.
-
Para teste unilateral à direita com
e graus de liberdade, o valor crítico (tabela t) é aproximadamente (ou seja, a região de rejeição é.) -
Comparação:Portanto rejeitamos
ao nível de significância .
Passo 6
Cálculo (aproximado) do p-valor e interpretação prática.
-
O p-valor unilateral é
, onde tem distribuição com graus de liberdade. -
Usando tabela/interpolação ou calculadora, obtém-se aproximadamenteEsse p-valor é menor que
, o que confirma a decisão anterior. -
Interpretação prática e cautela: com os dados de
meses observou-se uma média maior que e a evidência é suficiente (ao nível de ) para afirmar que o plano aumentou o volume médio. Contudo, a amostra é pequena e o p-valor não é muito pequeno; resultados mais firmes exigiriam amostra maior para reduzir incerteza.
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência, ao nível de significância de
, de que o plano aumentou o volume médio de vendas (
;
).