Questão 3 - (14 pontos) Um professor afirma que a variabilidade das notas nos exames finais dos alunos na disciplina de estatística diminuiu. Historicamente a variância das notas nos exames finais é de no mínimo 210,8. Uma amostra aleatória de 13 alunos é extraída, obtendo-se variância igual a 36,2 . Teste a afirmação do professor ao nível de significância de
. Suponha população normalmente distribuída. Qual sua conclusão?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Tamanho da amostra:
. - Variância amostral observada:
(peguei do enunciado). - Valor histórico (limite) da variância:
(peguei do enunciado). - Nível de significância:
. - Suposição: população normalmente distribuída (dada).
O enunciado pede que testemos a afirmação do professor de que a variabilidade (ou seja, a variância) diminuiu. Em palavras: queremos verificar se a variância populacional é menor do que
.
As perguntas implícitas são:
- Formular as hipóteses apropriadas para testar essa afirmação.
- Calcular a estatística de teste e o valor crítico (ou p-valor).
- Decidir se rejeitamos ou não
ao nível . - Interpretar a conclusão em linguagem comum (se há evidência de diminuição da variância).
Passo 2
Definição do teste e da estatística: para testar hipóteses sobre a variância de uma população normal usamos o teste qui‑quadrado baseado na estatística
onde:
-
é o tamanho da amostra ( ); -
é a variância amostral ( ); -
é o valor sob (aqui ); - Sob
(quando a população é normal) vale (qui‑quadrado com graus de liberdade).
Hipóteses (como se faz em prova para um teste unilateral à esquerda, pois se quer “diminuiu”):
(Em prática, pode-se interpretar
como
contra
, mas para construir a estatística usamos a igualdade.)
Repare: é obrigatório supor normalidade para que a estatística tenha distribuição
.
Passo 3
Cálculo da estatística de teste passo a passo.
Primeiro calcule
:
Faço a multiplicação explícita:
Agora divido pelo valor sob
:
Faço a divisão aproximada manual:
Portanto
Concluímos que a estatística observada é
. Esta estatística, sob
, tem distribuição
com
graus de liberdade.
Passo 4
Determinar a regra de decisão (valor crítico) para o teste unilateral à esquerda com
e
.
Para um teste com
rejeitamos
quando
onde
e
é o quantil tal que
(o quantil da cauda esquerda).
Consultando uma tabela de qui‑quadrado (ou usando software), o quantil de 5% à esquerda para
é aproximadamente
Isto significa que
. Portanto a região crítica (nível
) é
.
Passo 5
Comparação e decisão.
Temos
e o valor crítico é
. Como
a estatística observada cai na região crítica. Logo rejeitamos
ao nível de significância de
.
Interpretação: há evidência estatística, ao nível de
, de que a variância das notas é menor do que
. Em palavras mais simples: os dados suportam a afirmação do professor de que a variabilidade diminuiu.
Observação sobre p‑valor: o p‑valor é
, que é menor que
(ou seja, os dados dão um p‑valor pequeno); para um valor numérico preciso do p‑valor seria conveniente usar uma calculadora / software estatístico, mas para a decisão na prova não é necessário quando já comparamos com o crítico.
Resposta
Rejeita‑se
. Há evidência, ao nível de
, de que a variância das notas é menor que
.