Questão 3 - (14 pontos) Um professor afirma que a variabilidade das notas nos exames finais dos alunos na disciplina de estatística diminuiu. Historicamente a variância das notas nos exames finais é de no mínimo 210,8. Uma amostra aleatória de 13 alunos é extraída, obtendo-se variância igual a 36,2 . Teste a afirmação do professor ao nível de significância de 5 \%. Suponha população normalmente distribuída. Qual sua conclusão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Tamanho da amostra: n=13.
  • Variância amostral observada: s^{2}=36{,}2 (peguei do enunciado).
  • Valor histórico (limite) da variância: \sigma_{0}^{2}=210{,}8 (peguei do enunciado).
  • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
  • Suposição: população normalmente distribuída (dada).
O enunciado pede que testemos a afirmação do professor de que a variabilidade (ou seja, a variância) diminuiu. Em palavras: queremos verificar se a variância populacional é menor do que 210{,}8.
As perguntas implícitas são:
  1. Formular as hipóteses apropriadas para testar essa afirmação.
  2. Calcular a estatística de teste e o valor crítico (ou p-valor).
  3. Decidir se rejeitamos ou não H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.
  4. Interpretar a conclusão em linguagem comum (se há evidência de diminuição da variância).

Passo 2

Definição do teste e da estatística: para testar hipóteses sobre a variância de uma população normal usamos o teste qui‑quadrado baseado na estatística
\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
onde:
  • n é o tamanho da amostra ( n=13);
  • S^{2} é a variância amostral ( S^{2}=36{,}2);
  • \sigma_{0}^{2} é o valor sob H_{0} (aqui 210{,}8);
  • Sob H_{0} (quando a população é normal) vale \chi^{2}\sim\chi^{2}_{n-1} (qui‑quadrado com n-1 graus de liberdade).
Hipóteses (como se faz em prova para um teste unilateral à esquerda, pois se quer “diminuiu”):
H_{0}:\\ \sigma^{2} = 210{,}8
H_{1}:\\ \sigma^{2} < 210{,}8.
(Em prática, pode-se interpretar H_{0} como \sigma^{2}\ge 210{,}8 contra H_{1}:\sigma^{2}<210{,}8, mas para construir a estatística usamos a igualdade.)
Repare: é obrigatório supor normalidade para que a estatística tenha distribuição \chi^{2}.

Passo 3

Cálculo da estatística de teste passo a passo.
Primeiro calcule (n-1)S^{2}:
(n-1)S^{2}= (13-1)\cdot 36{,}2 = 12\cdot 36{,}2.
Faço a multiplicação explícita:
12\cdot 36{,}2 = 12\cdot 36 + 12\cdot 0{,}2 = 432 + 2{,}4 = 434{,}4.
Agora divido pelo valor sob H_{0}:
\chi^{2}=\frac{434{,}4}{210{,}8}.
Faço a divisão aproximada manual:
210{,}8\times 2 = 421{,}6,\quad \text{diferença }434{,}4-421{,}6=12{,}8,ç
\frac{12{,}8}{210{,}8}\approx 0{,}0607.
Portanto
\chi^{2}\approx 2 + 0{,}0607 = 2{,}0607\approx 2{,}061.
Concluímos que a estatística observada é \chi^{2}_{obs}\approx 2{,}061. Esta estatística, sob H_{0}, tem distribuição \chi^{2} com n-1=12 graus de liberdade.

Passo 4

Determinar a regra de decisão (valor crítico) para o teste unilateral à esquerda com \alpha=0{,}05 e df=12.
Para um teste com H_{1}:\sigma^{2}<\sigma_{0}^{2} rejeitamos H_{0} quando
\chi^{2}_{obs} \le \chi^{2}_{\nu,\; \alpha},
onde \nu=n-1=12 e \chi^{2}_{\nu,\;\alpha} é o quantil tal que P(\chi^{2}_{\nu}\le \chi^{2}_{\nu,\;\alpha})=\alpha (o quantil da cauda esquerda).
Consultando uma tabela de qui‑quadrado (ou usando software), o quantil de 5% à esquerda para df=12 é aproximadamente
\chi^{2}_{12,\;0{,}05}\approx 4{,}404.
Isto significa que P(\chi^{2}_{12}\le 4{,}404)=0{,}05. Portanto a região crítica (nível 5\%) é \chi^{2}_{obs}\le 4{,}404.

Passo 5

Comparação e decisão.
Temos \chi^{2}_{obs}\approx 2{,}061 e o valor crítico é 4{,}404. Como
2{,}061 < 4{,}404,
a estatística observada cai na região crítica. Logo rejeitamos H_{0} ao nível de significância de 5\%.
Interpretação: há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a variância das notas é menor do que 210{,}8. Em palavras mais simples: os dados suportam a afirmação do professor de que a variabilidade diminuiu.
Observação sobre p‑valor: o p‑valor é P(\chi^{2}_{12}\le 2{,}061), que é menor que 0{,}05 (ou seja, os dados dão um p‑valor pequeno); para um valor numérico preciso do p‑valor seria conveniente usar uma calculadora / software estatístico, mas para a decisão na prova não é necessário quando já comparamos com o crítico.

Resposta

Rejeita‑se H_{0}. Há evidência, ao nível de 5\%, de que a variância das notas é menor que 210{,}8.

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