Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x-1}.
(a) Assimptota vertical: x=1, assimptota horizontal: y=1, assimptota oblíqua: não existe.
(b) Assimptota vertical: x=1, assimptota horizontal: não existe, assimptota oblíqua: y=x+2.
(c) Assimptota vertical: x=1, assimptota horizontal: não existe, assimptota oblíqua: y=x+1.
(d) Assimptota vertical: x=-1, assimptota horizontal: y=0, assimptota oblíqua: y=x.
(e) Nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as assíntotas vertical, horizontal e oblíqua da função f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x-1} e escolha a alternativa correta entre as opções (a) a (e). Informação dada: a fórmula explícita de f(x). Não há outras informações/figuras.
Passo 2
Entendendo o que cada tipo de assíntota significa (mini-aula):
Assíntota vertical: uma reta x=a é assíntota vertical se a função cresce em módulo sem limite quando x se aproxima de a por alguma das direções; em prática, procuramos pontos onde o denominador é zero e que não são “cancelados” por fator comum com o numerador.
Assíntota horizontal: uma reta y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to\infty} f(x)=L e/ou \lim_{x\to-\infty} f(x)=L. Em termos de graus de polinômios: se o grau do numerador é menor que o do denominador, a assíntota horizontal é y=0; se igual, é a razão dos coeficientes dominantes; se maior, normalmente não há assíntota horizontal.
Assíntota oblíqua (incluída): ocorre quando o grau do numerador é exatamente 1 unidade maior que o do denominador; então existe uma reta y=mx+b obtida pela divisão polinomial: f(x)=mx+b+\frac{\text{resto}}{x-1} e como x\to\pm\infty o termo \frac{\text{resto}}{x-1}\to0, ficando a reta.
Passo 3
Determinar possíveis assíntotas verticais pela condição do denominador ser zero:
Denominador é x-1. Então x=1 é ponto onde denominador é zero. Vou verificar se esse zero é cancelado pelo numerador: calculo o valor do numerador em x=1:
x^{2}+x+1\big|_{x=1}=1^{2}+1+1=3\neq0.
Como o numerador não zera em x=1, não há cancelamento, logo existe uma assíntota vertical em
x=1.
(explicação intuitiva: perto de x=1 a fração tem denominador muito próximo de zero enquanto o numerador fica próximo de 3, então o valor da função explode para +\infty ou -\infty.)
Passo 4
Verificar grau dos polinômios para decidir sobre assíntota horizontal ou oblíqua:
Grau do numerador é 2.
Grau do denominador é 1.
Como o grau do numerador é maior que o do denominador por exatamente 1 (isto é, 2=1+1), não haverá assíntota horizontal e haverá uma assíntota oblíqua obtida pela divisão polinomial. (Se o grau do numerador fosse menor ou igual, outra conclusão se aplicaria; aqui a diferença ser 1 é o sinal claro de oblíqua.)
Passo 5
Fazer a divisão polinomial de (x^{2}+x+1) por (x-1) passo a passo (mini-aula prática de divisão):
Divido x^{2} por x, obtenho x. Multiplico x\cdot(x-1)=x^{2}-x.
Subtraio: (x^{2}+x+1)-(x^{2}-x)=2x+1.
Divido 2x por x, obtenho 2. Multiplico 2\cdot(x-1)=2x-2.
Subtraio: (2x+1)-(2x-2)=3. Esse é o resto constante.
Portanto a divisão dá o quociente x+2 e resto 3. Assim
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=x+2+\frac{3}{x-1}.
Passo 6
Concluir a assíntota oblíqua usando o resultado da divisão:
A função foi escrita como f(x)=x+2+\dfrac{3}{x-1}. Quando x\to\pm\infty temos
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x-1}=0,
porque 3 é constante e o denominador diverge em módulo; assim o termo \dfrac{3}{x-1} tende a zero. Logo f(x) aproxima-se de x+2 para x grande em módulo. Portanto existe assíntota oblíqua
y=x+2.
Passo 7
Resumo das conclusões (mini reforço):
Assíntota vertical: x=1 (denominador zero e numerador não zero).
Assíntota horizontal: não existe (grau do numerador maior que o do denominador).
Assíntota oblíqua: y=x+2 (quotiente da divisão polinomial e resto/(x-1)→0).
Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde a essas três afirmações é a alternativa (b).