Questão 17. Encontre o valor de x na equação
1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{2021}{1011} .

Passo 1

O enunciado dá a soma finita
1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{2021}{1011}
e pede para encontrar o valor de x. Informação importante extraída do enunciado:
  • Cada denominador é a soma dos inteiros de 1 até k, para k=1,2,\ldots,x.
  • O objetivo é determinar o inteiro x que faz a soma valer exatamente \dfrac{2021}{1011}.

Passo 2

Vamos entender a soma dos primeiros k inteiros (número triangular). A soma
1+2+\cdots+k
tem a fórmula conhecida (pode demonstrar juntando pares ou por indução):
1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}.
Aqui cada denominador da série é \dfrac{k(k+1)}{2} para o respectivo k.

Passo 3

Substituindo essa fórmula no termo geral, o k-ésimo termo da soma é
\frac{1}{1+2+\cdots+k}=\frac{1}{\dfrac{k(k+1)}{2}}=\frac{2}{k(k+1)}.
Portanto a soma dada pode ser reescrita como
\sum_{k=1}^{x}\frac{2}{k(k+1)}.

Passo 4

Vamos decompor \dfrac{2}{k(k+1)} em frações parciais para ver o telescopamento. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}.
Multiplicando por k(k+1) obtemos
2=A(k+1)+Bk=(A+B)k+A.
Comparando coeficientes, do termo em k vem A+B=0 e do termo constante vem A=2. Assim A=2 e B=-2. Logo
\frac{2}{k(k+1)}=2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).

Passo 5

Substituindo na soma, temos
\sum_{k=1}^{x}\frac{2}{k(k+1)}=2\sum_{k=1}^{x}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).
Essa soma é telescópica: expandindo os primeiros termos,
2\Big((1-\tfrac{1}{2})+(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3})+(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4})+\cdots+(\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x+1})\Big),
quase tudo se cancela e sobra somente
2\left(1-\frac{1}{x+1}\right).
Portanto a soma completa vale
\frac{2x}{x+1}.

Passo 6

Igualamos o valor obtido à fração dada no enunciado:
\frac{2x}{x+1}=\frac{2021}{1011}.
Multiplicando em cruz obtemos a equação
2022x=2021x+2021,
o que leva, após rearranjar os termos, a
2022x-2021x=2021.

Resposta

2021

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