Questão 17. Encontre o valor de
na equação
Passo 1
O enunciado dá a soma finita
e pede para encontrar o valor de
. Informação importante extraída do enunciado:
- Cada denominador é a soma dos inteiros de
até , para . - O objetivo é determinar o inteiro
que faz a soma valer exatamente .
Passo 2
Vamos entender a soma dos primeiros
inteiros (número triangular). A soma
tem a fórmula conhecida (pode demonstrar juntando pares ou por indução):
Aqui cada denominador da série é
para o respectivo
.
Passo 3
Substituindo essa fórmula no termo geral, o
-ésimo termo da soma é
Portanto a soma dada pode ser reescrita como
Passo 4
Vamos decompor
em frações parciais para ver o telescopamento. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes, do termo em
vem
e do termo constante vem
. Assim
e
. Logo
Passo 5
Substituindo na soma, temos
Essa soma é telescópica: expandindo os primeiros termos,
quase tudo se cancela e sobra somente
Portanto a soma completa vale
Passo 6
Igualamos o valor obtido à fração dada no enunciado:
Multiplicando em cruz obtemos a equação
o que leva, após rearranjar os termos, a