Questão 18. Se a sequência
está em P.A e
, então qual o valor da soma de todos os termos dessa sequência ?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a soma de todos os termos da sequência aritmética
sabendo que
Informações dadas:
- A sequência tem
termos e é uma progressão aritmética (P.A.), isto é, existe (primeiro termo) e uma razão tais que, para todo ,
- A soma dos termos nos índices
vale .
O que é pedido:
- Calcular a soma de todos os
termos,
Passo 2
Vamos escrever os termos usados no dado em função de
e
. Usando
:
Agora somamos esses seis termos (isso é só algebra direta, passo a passo):
Somando os coeficientes de
:
Logo o dado do enunciado vira a equação
Passo 3
Simplificamos a equação anterior dividindo por
(para ficar mais simples):
Essa é a única relação entre
e
que o enunciado fornece.
Passo 4
Agora escrevemos a soma dos
termos em função de
e
. Duas fórmulas úteis para soma de uma P.A.:
- soma por média: a média aritmética dos termos de uma P.A. com número ímpar de termos é o termo central; aqui o termo central é
, então
- ou usando a fórmula clássica:
. Para :
As duas expressões são equivalentes porque
.
Passo 5
Queremos eliminar
usando a relação obtida no Passo 3 e escrever
em termos de
(ou vice-versa). Da equação
isolamos
:
Logo
Portanto
Passo 6
Interpretação e conclusão didática:
- A expressão final para
contém . Isso significa que, com a informação fornecida (apenas a soma dos seis termos indicados), não é possível determinar um único valor numérico para sem conhecer a razão . - Em outras palavras, existem muitas P.A. diferentes (vários pares
) que satisfazem , e cada uma dessas P.A. tem uma soma total diferente, conforme a fórmula acima.
Para tornar isso totalmente palpável, dois exemplos concretos que satisfazem a condição e dão somas totais diferentes:
- Se
(sequência constante), então e . - Se
, da equação obtemos ; nesse caso .
Ambas as P.A. satisfazem a soma dos seis termos igual a, mas têm somas totais diferentes.