Questão 18. Se a sequência a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{25} está em P.A e a_{1}+a_{5}+a_{10}+a_{15}+a_{20}+a_{25}=240, então qual o valor da soma de todos os termos dessa sequência ?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a soma de todos os termos da sequência aritmética a_{1},a_{2},\dots,a_{25} sabendo que
a_{1}+a_{5}+a_{10}+a_{15}+a_{20}+a_{25}=240.
Informações dadas:
  • A sequência tem 25 termos e é uma progressão aritmética (P.A.), isto é, existe a_{1} (primeiro termo) e uma razão d tais que, para todo k,
a_{k}=a_{1}+(k-1)d.
  • A soma dos termos nos índices 1,5,10,15,20,25 vale 240.
O que é pedido:
  • Calcular a soma de todos os 25 termos,
S_{25}=\sum_{k=1}^{25} a_k.

Passo 2

Vamos escrever os termos usados no dado em função de a_{1} e d. Usando a_{k}=a_{1}+(k-1)d:
\begin{aligned} a_{1}&=a_{1},\\\ a_{5}&=a_{1}+4d,\\\ a_{10}&=a_{1}+9d,\\\ a_{15}&=a_{1}+14d,\\\ a_{20}&=a_{1}+19d,\\\ a_{25}&=a_{1}+24d. \end{aligned}
Agora somamos esses seis termos (isso é só algebra direta, passo a passo):
\begin{aligned} a_{1}+a_{5}+a_{10}+a_{15}+a_{20}+a_{25} &= (a_{1})+(a_{1}+4d)+(a_{1}+9d)+(a_{1}+14d)+(a_{1}+19d)+(a_{1}+24d)\\\ &= 6a_{1}+(0+4+9+14+19+24)d. \end{aligned}
Somando os coeficientes de d:
0+4+9+14+19+24=70.
Logo o dado do enunciado vira a equação
6a_{1}+70d=240.

Passo 3

Simplificamos a equação anterior dividindo por 2 (para ficar mais simples):
3a_{1}+35d=120.
Essa é a única relação entre a_{1} e d que o enunciado fornece.

Passo 4

Agora escrevemos a soma dos 25 termos em função de a_{1} e d. Duas fórmulas úteis para soma de uma P.A.:
  • soma por média: a média aritmética dos termos de uma P.A. com número ímpar de termos é o termo central; aqui o termo central é a_{13}, então
S_{25}=25\cdot a_{13}.
  • ou usando a fórmula clássica: S_{n}=\dfrac{n}{2}\bigl(2a_{1}+(n-1)d\bigr). Para n=25:
S_{25}=\frac{25}{2}\bigl(2a_{1}+24d\bigr)=25\bigl(a_{1}+12d\bigr).
As duas expressões são equivalentes porque a_{13}=a_{1}+12d.

Passo 5

Queremos eliminar a_{1} usando a relação obtida no Passo 3 e escrever S_{25} em termos de d (ou vice-versa). Da equação
3a_{1}+35d=120
isolamos a_{1}:
a_{1}=\frac{120-35d}{3}=40-\frac{35}{3}d.
Logo
a_{13}=a_{1}+12d=40-\frac{35}{3}d+12d=40+\frac{1}{3}d.
Portanto
S_{25}=25\cdot a_{13}=25\left(40+\frac{1}{3}d\right)=1000+\frac{25}{3}d.

Passo 6

Interpretação e conclusão didática:
  • A expressão final para S_{25} contém d. Isso significa que, com a informação fornecida (apenas a soma dos seis termos indicados), não é possível determinar um único valor numérico para S_{25} sem conhecer a razão d.
  • Em outras palavras, existem muitas P.A. diferentes (vários pares (a_{1},d)) que satisfazem a_{1}+a_{5}+a_{10}+a_{15}+a_{20}+a_{25}=240, e cada uma dessas P.A. tem uma soma total S_{25} diferente, conforme a fórmula acima.
Para tornar isso totalmente palpável, dois exemplos concretos que satisfazem a condição e dão somas totais diferentes:
  • Se d=0 (sequência constante), então a_{1}=40 e S_{25}=25\cdot 40=1000.
  • Se d=3, da equação 3a_{1}+35\cdot 3=120 obtemos a_{1}=5; nesse caso S_{25}=25\cdot(5+12\cdot 3)=25\cdot 41=1025.
    Ambas as P.A. satisfazem a soma dos seis termos igual a 240, mas têm somas totais diferentes.

Resposta

\displaystyle S_{25}=1000+\dfrac{25}{3}\,d (não é possível determinar um valor numérico único para S_{25} sem saber a razão d).

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