Questão 19. Se o
-ésimo termo das duas sequências
e
são iguais, então quantos termos tem cada sequência ?
Passo 1
O enunciado dá duas sequências (progressões aritméticas) e diz que o
-ésimo termo de ambas é igual. Pergunta: quantos termos tem cada sequência?
Informações dadas (tiradas diretamente dos termos escritos no enunciado):
- Primeira sequência:
. - Primeiro termo:
. - Diferença entre termos consecutivos:
.
- Primeiro termo:
- Segunda sequência:
. - Primeiro termo:
. - Diferença entre termos consecutivos:
.
- Primeiro termo:
O que queremos encontrar: o valor de
tal que o
-ésimo termo da primeira sequência seja igual ao
-ésimo termo da segunda sequência. Esse valor
é, portanto, o número de termos de cada sequência.
Passo 2
Relembrando a fórmula do
-ésimo termo de uma progressão aritmética (PA).
Fórmula:
Explicando a fórmula de um jeito tranquilo:
-
é o -ésimo termo que queremos saber. -
é o primeiro termo da PA. -
é a diferença comum entre termos consecutivos (quanto se soma para ir de um termo ao próximo). -
é o número de passos que fazemos a partir do primeiro termo para chegar ao -ésimo.
Exemplo rápido: see , então o segundo termo é e o terceiro é , o que bate com a sequência dada.
Passo 3
Aplicando a fórmula a cada sequência para escrever o
-ésimo termo em função de
.
Para a primeira sequência:
Expandindo:
Para a segunda sequência:
Expandindo:
Passo 4
Como o enunciado diz que os
-ésimos termos são iguais, igualamos as duas expressões e resolvemos para
.
Igualdade:
Resolvendo passo a passo:
Subtraindo
dos dois lados:
Somando
aos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Verificação rápida do termo comum (para garantir que não houve erro algébrico):
Calcular o
-º termo pela primeira expressão:
Calcular o
-º termo pela segunda expressão:
Os dois dão
, confirmação que
está correto.
Resposta
Primeira sequência:
Segunda sequência:
Segunda sequência: