Questão 19. Se o n-ésimo termo das duas sequências 3+10+17+\ldots e 63+65+67+\ldots são iguais, então quantos termos tem cada sequência ?

Passo 1

O enunciado dá duas sequências (progressões aritméticas) e diz que o n-ésimo termo de ambas é igual. Pergunta: quantos termos tem cada sequência?
Informações dadas (tiradas diretamente dos termos escritos no enunciado):
  • Primeira sequência: 3,\,10,\,17,\ldots.
    • Primeiro termo: a_1^{(1)} = 3.
    • Diferença entre termos consecutivos: d^{(1)} = 10-3 = 7.
  • Segunda sequência: 63,\,65,\,67,\ldots.
    • Primeiro termo: a_1^{(2)} = 63.
    • Diferença entre termos consecutivos: d^{(2)} = 65-63 = 2.
O que queremos encontrar: o valor de n tal que o n-ésimo termo da primeira sequência seja igual ao n-ésimo termo da segunda sequência. Esse valor n é, portanto, o número de termos de cada sequência.

Passo 2

Relembrando a fórmula do n-ésimo termo de uma progressão aritmética (PA).
Fórmula:
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Explicando a fórmula de um jeito tranquilo:
  • a_n é o n-ésimo termo que queremos saber.
  • a_1 é o primeiro termo da PA.
  • d é a diferença comum entre termos consecutivos (quanto se soma para ir de um termo ao próximo).
  • (n-1) é o número de passos que fazemos a partir do primeiro termo para chegar ao n-ésimo.
    Exemplo rápido: se a_1=3 e d=7, então o segundo termo é 3+(2-1)7=10 e o terceiro é 3+(3-1)7=17, o que bate com a sequência dada.

Passo 3

Aplicando a fórmula a cada sequência para escrever o n-ésimo termo em função de n.
Para a primeira sequência:
a_n^{(1)} = a_1^{(1)} + (n-1)\,d^{(1)} = 3 + (n-1)\cdot 7.
Expandindo:
a_n^{(1)} = 3 + 7n -7 = 7n -4.
Para a segunda sequência:
a_n^{(2)} = a_1^{(2)} + (n-1)\,d^{(2)} = 63 + (n-1)\cdot 2.
Expandindo:
a_n^{(2)} = 63 + 2n -2 = 2n +61.

Passo 4

Como o enunciado diz que os n-ésimos termos são iguais, igualamos as duas expressões e resolvemos para n.
Igualdade:
7n -4 = 2n +61.
Resolvendo passo a passo:
7n - 4 = 2n + 61
Subtraindo 2n dos dois lados:
5n - 4 = 61
Somando 4 aos dois lados:
5n = 65
Dividindo por 5:
n = 13.

Passo 5

Verificação rápida do termo comum (para garantir que não houve erro algébrico):
Calcular o 13-º termo pela primeira expressão:
a_{13}^{(1)} = 7\cdot 13 - 4 = 91 - 4 = 87.
Calcular o 13-º termo pela segunda expressão:
a_{13}^{(2)} = 2\cdot 13 + 61 = 26 + 61 = 87.
Os dois dão 87, confirmação que n=13 está correto.

Resposta

Primeira sequência: 13
Segunda sequência: 13

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