QUESTÃO O3 [2,1] - Suponha um carrinho de brinquedo movendo-se no plano horizontal xy inicialmente com velocidade \vec{v}_{i}=4 i+j \mid \mathrm{m} / \mathrm{s} em um ponto onde a posição em relação à origem é \vec{r}_{i}=10 i-4 j \mathrm{~m}. Após andar com aceleraçāo constante por 5,0 \mathrm{~s}, sua velocidade é \vec{v}_{f}=20 i-5 j \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Quais são as componentes da aceleração do carrinho? (b) Depois de 5,0 \mathrm{~s}, qual será a distância do carrinho em relação à origem?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Velocidade inicial: \vec{v}_{i}=4\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s}.
    • Posição inicial: \vec{r}_{i}=10\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade final (após \,5,0\\ \mathrm{s}): \vec{v}_{f}=20\,\mathbf{i}-5\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s}.
    • Intervalo de tempo: \Delta t=5,0\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado pede:
    (a) as componentes da aceleração do carrinho;
    (b) depois de 5,0\\ \mathrm{s}, a distância do carrinho em relação à origem.

Passo 2

Entender a física e a fórmula útil para (a).
  • Quando a aceleração é constante, a relação entre velocidades e tempo é
\vec{a}=\frac{\vec{v}_{f}-\vec{v}_{i}}{\Delta t}.
Aqui:
  • \vec{a} é a aceleração vetorial (unidade \mathrm{m/s^{2}}),
  • \vec{v}_{f} e \vec{v}_{i} são vetores velocidade (unidade \mathrm{m/s}),
  • \Delta t é o tempo durante o qual a aceleração age (unidade \mathrm{s}).
  • Aplicando componente a componente (subtração de vetores é feita componente a componente):
    • Componente x:
    a_x=\frac{v_{f,x}-v_{i,x}}{\Delta t}=\frac{20-4}{5,0}=\frac{16}{5} \\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Componente y:
    a_y=\frac{v_{f,y}-v_{i,y}}{\Delta t}=\frac{-5-1}{5,0}=\frac{-6}{5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Converter frações para decimal (útil na prova):
    \frac{16}{5}=3,2\quad\text{e}\quad\frac{-6}{5}=-1,2.
Portanto a aceleração vetorial é \vec{a}=3,2\,\mathbf{i}-1,2\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Agora a parte (b): encontrar a posição após \,5,0\\ \mathrm{s} e daí a distância até a origem.
  • Para movimento com aceleração constante usamos a equação vetorial do movimento:
\vec{r}_{f}=\vec{r}_{i}+\vec{v}_{i}\,t+\frac{1}{2}\,\vec{a}\,t^{2},
onde:
  • \vec{r}_{f} é a posição final,
  • \vec{r}_{i} é a posição inicial,
  • \vec{v}_{i} é a velocidade inicial,
  • \vec{a} é a aceleração (constante),
  • t é o intervalo de tempo (aqui t=\Delta t=5,0\\ \mathrm{s}).
  • Calculando componente a componente.
Componente x:
\begin{aligned} x_{f}&=x_{i}+v_{i,x}t+\tfrac{1}{2}a_{x}t^{2} \\\ &=10 + 4\cdot5,0 + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{16}{5}\cdot(5,0)^{2}. \end{aligned}
Fazendo as contas passo a passo:
  • 4\cdot5,0=20.
  • (5,0)^{2}=25.
  • \tfrac{1}{2}\cdot\frac{16}{5}\cdot25 = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{16\cdot25}{5}=\tfrac{1}{2}\cdot(16\cdot5)=\tfrac{1}{2}\cdot80=40.
    Logo
x_{f}=10+20+40=70\\ \mathrm{m}.
Componente y:
\begin{aligned} y_{f}&=y_{i}+v_{i,y}t+\tfrac{1}{2}a_{y}t^{2} \\\ &=-4 + 1\cdot5,0 + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{-6}{5}\cdot(5,0)^{2}. \end{aligned}
Fazendo as contas:
  • 1\cdot5,0=5.
  • \tfrac{1}{2}\cdot\frac{-6}{5}\cdot25 = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{-6\cdot25}{5}=\tfrac{1}{2}\cdot(-6\cdot5)=\tfrac{1}{2}\cdot(-30)=-15.
    Logo
y_{f}=-4+5-15=-14\\ \mathrm{m}.
  • Assim a posição final é
\vec{r}_{f}=70\,\mathbf{i}-14\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a distância do ponto \vec{r}_{f} até a origem.
  • Distância (módulo do vetor posição) é dada por
d=\|\vec{r}_{f}\|=\sqrt{x_{f}^{2}+y_{f}^{2}}.
Substituindo:
d=\sqrt{70^{2}+(-14)^{2}}=\sqrt{4900+196}=\sqrt{5096}\\ \mathrm{m}.
  • Valor numérico aproximado (útil na prova): \sqrt{5096}\approx71,39\\ \mathrm{m}.

Resposta

\vec{a}=3,2\,\mathbf{i}-1,2\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s^{2}}
Distância ao origem após 5,0\\ \mathrm{s}: \sqrt{5096}\\ \mathrm{m}\approx71,39\\ \mathrm{m}

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