Questão 20. Se 5+7+9+\ldots+n=A e 8+10+12+\ldots+(n-1)=B. Encontre o valor de n, sabendo-se que A+B=309.

Passo 1

O enunciado nos dá duas somas e uma condição sobre elas:
  • A é a soma da sequência 5+7+9+\ldots+n.
  • B é a soma da sequência 8+10+12+\ldots+(n-1).
  • Sabe-se que A+B=309.
O que o problema pede: encontrar o valor de n que satisfaz essas definições e a condição A+B=309.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ambas as sequências têm razão 2 (os termos aumentam de 2 em 2).
  • O último termo da primeira soma é n.
  • O último termo da segunda soma é n-1.
  • Queremos um valor de n que torne ambas as somas bem definidas e cuja soma total seja 309.

Passo 2

Vamos identificar o número de termos de cada soma. Para uma progressão aritmética com primeiro termo a_1, razão r e último termo a_\ell, o número de termos N é dado por
N=\frac{a_\ell-a_1}{r}+1.
Explicando essa fórmula de forma simples: a diferença entre o último e o primeiro termo dividida pela razão dá quantos “passos” são necessários, e somando 1 obtém-se o número de termos.
Aplicando isso à primeira soma 5+7+9+\ldots+n:
  • a_1=5, r=2, último termo a_\ell=n. Logo o número de termos k é
k=\frac{n-5}{2}+1=\frac{n-3}{2}.
Aplicando à segunda soma 8+10+12+\ldots+(n-1):
  • a_1=8, r=2, último termo a_\ell=n-1. Logo o número de termos m é
m=\frac{(n-1)-8}{2}+1=\frac{n-7}{2}.
Observação rápida: para k e m serem inteiros precisamos que n seja ímpar, mas manteremos isso em mente e verificaremos depois.

Passo 3

Agora vamos lembrar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética. Se uma PA tem N termos, primeiro termo a_1 e último termo a_\ell, a soma S é
S=N\cdot\frac{a_1+a_\ell}{2}.
Motivação intuitiva: podemos parear o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo etc.; cada par soma a_1+a_\ell e há N/2 pares (ou a fórmula funciona igualmente para N ímpar).
Aplicando isso à primeira soma A:
A = k\cdot\frac{5+n}{2}.
Substituindo k=\dfrac{n-3}{2} temos
A=\frac{n-3}{2}\cdot\frac{5+n}{2}=\frac{(n-3)(n+5)}{4}.
Aplicando à segunda soma B:
B = m\cdot\frac{8+(n-1)}{2}=m\cdot\frac{n+7}{2}.
Substituindo m=\dfrac{n-7}{2} obtemos
B=\frac{n-7}{2}\cdot\frac{n+7}{2}=\frac{(n-7)(n+7)}{4}.

Passo 4

Somamos A e B e igualamos a 309:
A+B=\frac{(n-3)(n+5)+(n-7)(n+7)}{4}=309.
Multiplicando os dois lados por 4 para eliminar o denominador:
(n-3)(n+5)+(n-7)(n+7)=1236.
Agora vamos expandir os produtos passo a passo (não pule etapas):
(n-3)(n+5)=n^2+5n-3n-15=n^2+2n-15,
(n-7)(n+7)=n^2-49.
Somando as duas expressões:
n^2+2n-15 + n^2-49 = 2n^2+2n-64.
Portanto a equação fica
2n^2+2n-64=1236.

Passo 5

Continuando a simplificação, subtraímos 1236 dos dois lados:
2n^2+2n-64-1236=0 \quad\Rightarrow\quad 2n^2+2n-1300=0.
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
n^2+n-650=0.
Agora temos uma equação quadrática padrão \,n^2+n-650=0.

Passo 6

Vamos resolver a quadrática pelo discriminante. Para uma equação \,n^2+bn+c=0 o discriminante é \Delta=b^2-4c. Aqui b=1 e c=-650, então
\Delta=1^2-4\cdot(-650)=1+2600=2601.
Reconhecemos que 2601=51^2 (porque 50^2=2500 e 51^2=2500+100+1=2601). Então as raízes são
n=\frac{-1\pm\sqrt{2601}}{2}=\frac{-1\pm51}{2}.
Isso dá duas soluções:
n_1=\frac{-1+51}{2}=\frac{50}{2}=25, \qquad n_2=\frac{-1-51}{2}=\frac{-52}{2}=-26.

Passo 7

Agora escolhemos a solução que faz sentido no contexto do problema. n é o último termo de uma soma de números inteiros crescentes, logo deve ser um número inteiro e, realisticamente, positivo. Assim n=-26 não é admissível. Além disso, lembramos que precisávamos que n fosse ímpar para que os números de termos k e m fossem inteiros; n=25 é ímpar, então é coerente.
Para confirmar rapidamente, podemos calcular A e B com n=25:
k=\frac{25-3}{2}=11,\qquad A=11\cdot\frac{5+25}{2}=11\cdot\frac{30}{2}=11\cdot15=165,
m=\frac{25-7}{2}=9,\qquad B=9\cdot\frac{8+24}{2}=9\cdot\frac{32}{2}=9\cdot16=144,
e então A+B=165+144=309, que confirma a solução.

Resposta

n=25

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