Questão 20. Se
e
. Encontre o valor de
, sabendo-se que
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas somas e uma condição sobre elas:
-
é a soma da sequência . -
é a soma da sequência . - Sabe-se que
.
O que o problema pede: encontrar o valor de
que satisfaz essas definições e a condição
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ambas as sequências têm razão
(os termos aumentam de em ). - O último termo da primeira soma é
. - O último termo da segunda soma é
. - Queremos um valor de
que torne ambas as somas bem definidas e cuja soma total seja .
Passo 2
Vamos identificar o número de termos de cada soma. Para uma progressão aritmética com primeiro termo
, razão
e último termo
, o número de termos
é dado por
Explicando essa fórmula de forma simples: a diferença entre o último e o primeiro termo dividida pela razão dá quantos “passos” são necessários, e somando
obtém-se o número de termos.
Aplicando isso à primeira soma
:
-
, , último termo . Logo o número de termos é
Aplicando à segunda soma
:
-
, , último termo . Logo o número de termos é
Observação rápida: para
e
serem inteiros precisamos que
seja ímpar, mas manteremos isso em mente e verificaremos depois.
Passo 3
Agora vamos lembrar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética. Se uma PA tem
termos, primeiro termo
e último termo
, a soma
é
Motivação intuitiva: podemos parear o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo etc.; cada par soma
e há
pares (ou a fórmula funciona igualmente para
ímpar).
Aplicando isso à primeira soma
:
Substituindo
temos
Aplicando à segunda soma
:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Somamos
e
e igualamos a
:
Multiplicando os dois lados por
para eliminar o denominador:
Agora vamos expandir os produtos passo a passo (não pule etapas):
Somando as duas expressões:
Portanto a equação fica
Passo 5
Continuando a simplificação, subtraímos
dos dois lados:
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Agora temos uma equação quadrática padrão
.
Passo 6
Vamos resolver a quadrática pelo discriminante. Para uma equação
o discriminante é
. Aqui
e
, então
Reconhecemos que
(porque
e
). Então as raízes são
Isso dá duas soluções:
Passo 7
Agora escolhemos a solução que faz sentido no contexto do problema.
é o último termo de uma soma de números inteiros crescentes, logo deve ser um número inteiro e, realisticamente, positivo. Assim
não é admissível. Além disso, lembramos que precisávamos que
fosse ímpar para que os números de termos
e
fossem inteiros;
é ímpar, então é coerente.
Para confirmar rapidamente, podemos calcular
e
com
:
e então
, que confirma a solução.