Questão 21. Calcule o valor da expressão
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede para calcular o valor da soma alternada
- Observação clara: os sinais alternam +, -, +, - até
. Há termos no total, portanto podemos agrupar os termos em pares do tipo .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e por que funciona): agrupar em pares consecutivos.
- Agrupar facilita porque cada par tem a forma
com
. Isso transforma a soma com
termos numa soma de
termos mais simples.
- Exemplo pequeno para entender a ideia: para os quatro primeiros termos temos
ou seja, cada par é tratado separadamente.
Passo 3
Calcular um par genérico usando álgebra elementar (diferença de quadrados ou expansão).
- Use a identidade de diferença de quadrados:
- Aplicando com
e obtemos
- Calcule cada fator:
- Portanto
Passo 4
Escrever a soma total como soma sobre
e separar termos constantes e proporcionais a
.
- A soma total
é
- Separe a soma:
- A primeira soma
é simplesmente , porque soma a constante cinquenta vezes:
Passo 5
Calcular
usando fórmula clássica e mostrar como obtê-la.
- Fórmula conhecida (e fácil de justificar): a soma dos
primeiros inteiros é
- Aqui
, então
- Calcule passo a passo:
- Logo
.
Passo 6
Substituir os valores na expressão para obter
.
- Voltando a
substituímos
:
- Calcule
:
- Portanto