Questão 21. Calcule o valor da expressão 1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-\ldots+99^{2}-100^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede para calcular o valor da soma alternada
1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-\ldots+99^{2}-100^{2}.
  • Observação clara: os sinais alternam +, -, +, - até 100^{2}. Há 100 termos no total, portanto podemos agrupar os termos em 50 pares do tipo (\text{ímpar})^{2}-(\text{par})^{2}í.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática e por que funciona): agrupar em pares consecutivos.
  • Agrupar facilita porque cada par tem a forma
(2k-1)^{2}-(2k)^{2},
com k=1,2,\dots,50. Isso transforma a soma com 100 termos numa soma de 50 termos mais simples.
  • Exemplo pequeno para entender a ideia: para os quatro primeiros termos temos
1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}=(1^{2}-2^{2})+(3^{2}-4^{2}),
ou seja, cada par é tratado separadamente.

Passo 3

Calcular um par genérico usando álgebra elementar (diferença de quadrados ou expansão).
  • Use a identidade de diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Aplicando com a=2k-1 e b=2k obtemos
(2k-1)^{2}-(2k)^{2}=((2k-1)-(2k))\big((2k-1)+(2k)\big).
  • Calcule cada fator:
(2k-1)-(2k)=-1, \qquad (2k-1)+(2k)=4k-1.
  • Portanto
(2k-1)^{2}-(2k)^{2}=-1\cdot(4k-1)=1-4k.

Passo 4

Escrever a soma total como soma sobre k e separar termos constantes e proporcionais a k.
  • A soma total S é
S=\sum_{k=1}^{50}\big((2k-1)^{2}-(2k)^{2}\big)=\sum_{k=1}^{50}(1-4k).
  • Separe a soma:
S=\sum_{k=1}^{50}1-4\sum_{k=1}^{50}k.
  • A primeira soma \sum_{k=1}^{50}1 é simplesmente 50, porque soma a constante 1 cinquenta vezes:
\sum_{k=1}^{50}1=50.

Passo 5

Calcular \sum_{k=1}^{50}k usando fórmula clássica e mostrar como obtê-la.
  • Fórmula conhecida (e fácil de justificar): a soma dos n primeiros inteiros é
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
  • Aqui n=50, então
\sum_{k=1}^{50}k=\frac{50\cdot51}{2}.
  • Calcule passo a passo:
50\cdot51=2550, \qquad \frac{2550}{2}=1275.
  • Logo \sum_{k=1}^{50}k=1275.

Passo 6

Substituir os valores na expressão para obter S.
  • Voltando a
S=50-4\sum_{k=1}^{50}k,
substituímos \sum_{k=1}^{50}k=1275:
S=50-4\cdot1275.
  • Calcule 4\cdot1275:
4\cdot1275=5100.
  • Portanto
S=50-5100=-5050.

Resposta

-5050

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