Questão 22. Seja \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{k}\right) uma PA tal que a_{4}+a_{7}+a_{10}=17 e a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{14}=77. Se a_{k}=13, determine o valor de k.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A sequência \left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\right) é uma progressão aritmética (PA).
  • É dado que a_{4}+a_{7}+a_{10}=17.
  • É dado que a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{14}=77.
  • É dado que a_{k}=13.
  • O que se pede: determinar o valor de k.

Passo 2

Vamos introduzir notação padrão e lembrar fórmulas básicas da PA.
  • Denotamos por a_{1} o primeiro termo e por d a razão da PA.
  • Fórmula do termo geral: para todo n,
a_{n}=a_{1}+(n-1)d.
Aqui a_{n} é o termo de índice n, a_{1} é o primeiro termo e d é a diferença entre termos consecutivos.
Agora expressamos a_{4}, a_{7} e a_{10} em termos de a_{1} e d:
a_{4}=a_{1}+3d,\qquad a_{7}=a_{1}+6d,\qquad a_{10}=a_{1}+9d.
Somando:
a_{4}+a_{7}+a_{10}=(a_{1}+3d)+(a_{1}+6d)+(a_{1}+9d)=3a_{1}+18d.
Mas observe que 3a_{1}+18d=3(a_{1}+6d)=3a_{7}. Ou seja, em qualquer PA a soma de três termos igualmente espaçados é três vezes o termo do meio. Como a_{4}+a_{7}+a_{10}=17, segue:
3a_{7}=17\quad\Rightarrow\quad a_{7}=\frac{17}{3}.

Passo 3

Agora usamos a soma dos termos de a_{4} até a_{14}.
  • O número de termos de a_{4} até a_{14} é 14-4+1=11.
  • Fórmula da soma de n termos consecutivos de uma PA: se os termos vão de a_{p} até a_{q} e há n termos, a soma é
S=\frac{n}{2}\bigl(a_{p}+a_{q}\bigr).
Aplicando aqui:
a_{4}+a_{5}+\cdots+a_{14}=\frac{11}{2}\bigl(a_{4}+a_{14}\bigr)=77.
Logo
a_{4}+a_{14}=\frac{2\cdot77}{11}=14.
Em uma PA, a média de dois termos simetricamente posicionados é o termo do meio; como (4+14)/2=9, o termo do meio é a_{9}. Assim
a_{9}=\frac{a_{4}+a_{14}}{2}=\frac{14}{2}=7.

Passo 4

Agora relacionamos a_{7} e a_{9} para achar d.
Usando a fórmula do termo geral:
a_{9}=a_{1}+8d,\qquad a_{7}=a_{1}+6d.
Subtraindo,
a_{9}-a_{7}=2d.
Substituindo os valores que achamos ( a_{9}=7 e a_{7}=\tfrac{17}{3}):
7-\frac{17}{3}=2d.
Calcule o lado esquerdo: 7=\tfrac{21}{3}, então
\frac{21}{3}-\frac{17}{3}=\frac{4}{3}=2d.
Portanto
d=\frac{2}{3}.

Passo 5

Achar a_{1} a partir de a_{7}.
Usando a_{7}=a_{1}+6d e a_{7}=\tfrac{17}{3}, com d=\tfrac{2}{3}:
a_{1}=a_{7}-6d=\frac{17}{3}-6\cdot\frac{2}{3}=\frac{17}{3}-\frac{12}{3}=\frac{5}{3}.

Passo 6

Determinar k tal que a_{k}=13.
Usamos a_{k}=a_{1}+(k-1)d. Substituindo a_{1}=\tfrac{5}{3} e d=\tfrac{2}{3}:
\frac{5}{3}+(k-1)\cdot\frac{2}{3}=13.
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar frações:
5+2(k-1)=39.
Desenvolvendo:
2(k-1)=39-5=34\quad\Rightarrow\quad k-1=17\quad\Rightarrow\quad k=18.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança):
Calcule a_{18}=a_{1}+17d=\tfrac{5}{3}+17\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{5+34}{3}=\tfrac{39}{3}=13. Confere.

Resposta

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