Questão 22. Seja
uma PA tal que
e
. Se
, determine o valor de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A sequência
é uma progressão aritmética (PA). - É dado que
. - É dado que
. - É dado que
. - O que se pede: determinar o valor de
.
Passo 2
Vamos introduzir notação padrão e lembrar fórmulas básicas da PA.
- Denotamos por
o primeiro termo e por a razão da PA. - Fórmula do termo geral: para todo
,
Aqui
é o termo de índice
,
é o primeiro termo e
é a diferença entre termos consecutivos.
Agora expressamos
,
e
em termos de
e
:
Somando:
Mas observe que
. Ou seja, em qualquer PA a soma de três termos igualmente espaçados é três vezes o termo do meio. Como
, segue:
Passo 3
Agora usamos a soma dos termos de
até
.
- O número de termos de
até é . - Fórmula da soma de
termos consecutivos de uma PA: se os termos vão de até e há termos, a soma é
Aplicando aqui:
Logo
Em uma PA, a média de dois termos simetricamente posicionados é o termo do meio; como
, o termo do meio é
. Assim
Passo 4
Agora relacionamos
e
para achar
.
Usando a fórmula do termo geral:
Subtraindo,
Substituindo os valores que achamos (
e
):
Calcule o lado esquerdo:
, então
Portanto
Passo 5
Achar
a partir de
.
Usando
e
, com
:
Passo 6
Determinar
tal que
.
Usamos
. Substituindo
e
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar frações:
Desenvolvendo:
Passo 7
Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança):
Calcule
. Confere.