Questão 24 (Unitau). Seja
uma função, definida para todo inteiro
, tal que
e
. Qual o valor de
?
Passo 1
O enunciado fornece as informações abaixo e faz uma pergunta clara.
-
Informações dadas:
- A função
está definida para todo inteiro . -
. - Para todo inteiro
vale .
- A função
-
Pergunta pedida:
- Determinar o valor de
.
- Determinar o valor de
Passo 2
Vamos calcular os primeiros valores a partir da regra de recorrência para ver um padrão. Usando
e
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Vemos a sequência
— parece que
para
.
Passo 3
Prova por indução para todos os inteiros não negativos
(isto garante a fórmula para
).
- Base (
): já temos , ou seja, coincide com . - Passo indutivo: suponha que para algum
valha . Então, usando a recorrência, Assim a propriedade é verdadeira para . Pelo princípio da indução, para todo inteiro .
Passo 4
Agora estendemos a conclusão para inteiros negativos. A recorrência pode ser reorganizada como
Tomando
na relação acima com o valor conhecido
, obtemos
Aplicando repetidamente a relação para
obtemos
Logo
também para todo inteiro
.
Passo 5
Resumo/justificativa alternativa (mais conceitual): a condição
diz que a “diferença discreta” é constante igual a
. Funções inteiras com diferença constante são funções lineares do tipo
. Substituindo na diferença obtém-se
. Usando
dá
. Portanto
para todo inteiro
.
Passo 6
Aplicando a fórmula
ao caso pedido,