Questão 24 (Unitau). Seja f(n) uma função, definida para todo inteiro n, tal que f(0)=0 e f(n+1)=f(n)+1. Qual o valor de f(200) ?

Passo 1

O enunciado fornece as informações abaixo e faz uma pergunta clara.
  • Informações dadas:
    • A função f está definida para todo inteiro n.
    • f(0)=0.
    • Para todo inteiro n vale f(n+1)=f(n)+1.
  • Pergunta pedida:
    • Determinar o valor de f(200).

Passo 2

Vamos calcular os primeiros valores a partir da regra de recorrência para ver um padrão. Usando f(0)=0 e f(n+1)=f(n)+1:
  • Para n=0: f(1)=f(0)+1=0+1=1.
  • Para n=1: f(2)=f(1)+1=1+1=2.
  • Para n=2: f(3)=f(2)+1=2+1=3.
Vemos a sequência f(0)=0,\;f(1)=1,\;f(2)=2,\;f(3)=3,\ldots — parece que f(n)=n para n\ge 0.

Passo 3

Prova por indução para todos os inteiros não negativos n (isto garante a fórmula para n\ge 0).
  • Base ( n=0): já temos f(0)=0, ou seja, f(0)=0 coincide com f(n)=n.
  • Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 0 valha f(k)=k. Então, usando a recorrência, f(k+1)=f(k)+1=k+1.Assim a propriedade é verdadeira para k+1. Pelo princípio da indução, f(n)=n para todo inteiro n\ge 0.

Passo 4

Agora estendemos a conclusão para inteiros negativos. A recorrência pode ser reorganizada como
f(n)=f(n+1)-1.
Tomando n=-1 na relação acima com o valor conhecido f(0)=0, obtemos
f(-1)=f(0)-1=0-1=-1.
Aplicando repetidamente a relação para n=-2,-3,\ldots obtemos
f(-2)=f(-1)-1=-1-1=-2,\quad f(-3)=-3,\\ \ldots
Logo f(n)=n também para todo inteiro n\le 0.

Passo 5

Resumo/justificativa alternativa (mais conceitual): a condição f(n+1)-f(n)=1 diz que a “diferença discreta” é constante igual a 1. Funções inteiras com diferença constante são funções lineares do tipo f(n)=an+b. Substituindo na diferença obtém-se a=1. Usando f(0)=0 b=0. Portanto f(n)=n para todo inteiro n.

Passo 6

Aplicando a fórmula f(n)=n ao caso pedido,
f(200)=200.

Resposta

200

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