Considere a função definida como g(t)=\operatorname{sen} t / t, para t>0 e g(0)=1.
Utilizando a condição G(s) \rightarrow 0 quando s \rightarrow+\infty e as propriedades da transformada de Laplace, deduza que, para s>0 :
Essa integral é convergente para s>0: para t pequeno, \operatorname{sen} t/t\to1 e e^{-st} é regular; para t grande, e^{-st}/t garante decaimento suficiente. Portanto G(s) está bem definida para s>0.
Passo 3
Vamos usar uma propriedade padrão da transformada de Laplace: a relação entre derivada em s da transformada e a transformada de t multiplicado pela função. Para F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) vale, quando as condições de troca de derivada e integral são satisfeitas,
Aqui eu usei apenas diferenciação sob o sinal de integral; as hipóteses de integrabilidade são satisfeitas no nosso caso para s>0, então a operação é legítima.
Passo 4
Aplique essa propriedade à nossa função g(t)=\operatorname{sen} t/t. Então
onde C é constante de integração (independente de s).
Passo 7
Usamos a condição limite dada para determinar C. Quando s\to+\infty temos \operatorname{Arctan}(s)\to\frac{\pi}{2}. A condição do enunciado diz que G(s)\to0 quando s\to+\infty. Substituindo na expressão acima:
Substituindo C na expressão para G(s) obtemos, para s>0,
G(s)=\frac{\pi}{2}-\operatorname{Arctan}(s).
Como verificação rápida: em s=0 isso dá G(0)=\pi/2, que coincide com a integral clássica \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt=\frac{\pi}{2}, então está consistente.