QUESTÃO No.1 (25 pontos)

Considere a função definida como g(t)=\operatorname{sen} t / t, para t>0 e g(0)=1.
Utilizando a condição G(s) \rightarrow 0 quando s \rightarrow+\infty e as propriedades da transformada de Laplace, deduza que, para s>0 :
G(s):=\mathcal{L}[g(t)]=\frac{\pi}{2}-\operatorname{Arctan}(s)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(t)=\frac{\operatorname{sen} t}{t}\quad(t>0),\qquad g(0)=1,
e pede para deduzir que, para s>0,
G(s):=\mathcal{L}[g(t)]=\frac{\pi}{2}-\operatorname{Arctan}(s),
sabendo que G(s)\to0 quando s\to+\infty e usando propriedades da transformada de Laplace.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição da transformada de Laplace que vamos usar é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
  • A condição limite: G(s)\to0 quando s\to+\infty.
  • A função a transformar é g(t)=\operatorname{sen} t / t (com valor definido em 0).
O objetivo é obter explicitamente G(s) para s>0.

Passo 2

Escrevendo a transformada de Laplace por definição, temos
G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt,\qquad s>0.
Essa integral é convergente para s>0: para t pequeno, \operatorname{sen} t/t\to1 e e^{-st} é regular; para t grande, e^{-st}/t garante decaimento suficiente. Portanto G(s) está bem definida para s>0.

Passo 3

Vamos usar uma propriedade padrão da transformada de Laplace: a relação entre derivada em s da transformada e a transformada de t multiplicado pela função. Para F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) vale, quando as condições de troca de derivada e integral são satisfeitas,
F'(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}f(t)\big)\,dt =-\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Aqui eu usei apenas diferenciação sob o sinal de integral; as hipóteses de integrabilidade são satisfeitas no nosso caso para s>0, então a operação é legítima.

Passo 4

Aplique essa propriedade à nossa função g(t)=\operatorname{sen} t/t. Então
G'(s)=-\mathcal{L}\{t\cdot g(t)\}(s)=-\mathcal{L}\{\underbrace{t\cdot\frac{\operatorname{sen} t}{t}}_{=\operatorname{sen} t}\}(s)=-\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s).
Ou seja,
G'(s)=-\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s).

Passo 5

Calculamos agora \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s). A fórmula conhecida (ou que se obtém por cálculo direto) é, para s>0,
\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{sen} t\,dt=\frac{1}{s^{2}+1}.
(Se quiser: obter isso rapidamente usando exponenciais complexas ou integração por partes; aqui usamos o resultado clássico.)
Portanto
G'(s)=-\frac{1}{s^{2}+1},\qquad s>0.

Passo 6

Integramos a equação diferencial simples em s. A integral de 1/(1+s^{2}) é a função arco-tangente:
\int \frac{1}{s^{2}+1}\,ds=\operatorname{Arctan}(s)+\text{const}.
Assim,
G(s)=-\int \frac{1}{s^{2}+1}\,ds = -\operatorname{Arctan}(s)+C,
ou reescrevendo,
G(s)=C-\operatorname{Arctan}(s),
onde C é constante de integração (independente de s).

Passo 7

Usamos a condição limite dada para determinar C. Quando s\to+\infty temos \operatorname{Arctan}(s)\to\frac{\pi}{2}. A condição do enunciado diz que G(s)\to0 quando s\to+\infty. Substituindo na expressão acima:
0=\lim_{s\to\infty}G(s)=\lim_{s\to\infty}\big(C-\operatorname{Arctan}(s)\big)=C-\frac{\pi}{2}.
Logo C=\frac{\pi}{2}.

Passo 8

Substituindo C na expressão para G(s) obtemos, para s>0,
G(s)=\frac{\pi}{2}-\operatorname{Arctan}(s).
Como verificação rápida: em s=0 isso dá G(0)=\pi/2, que coincide com a integral clássica \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt=\frac{\pi}{2}, então está consistente.

Resposta

G(s)=\frac{\pi}{2}-\operatorname{Arctan}(s)

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