QUESTÃO No. 4 (25 pontos)
Considere o seguinte sistema não linear de equações diferenciais:
\begin{aligned} \frac{d x_{1}}{d t} & =x_{2} \\\ \frac{d x_{2}}{d t} & =-\operatorname{sen} x_{1} \end{aligned}
onde \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} e t \varepsilon \mathbb{R}.
a) ( 12 pontos) Determine todos os pontos críticos do sistema.
b) (13 pontos) Encontre a equação cartesiana das trajetórias de fase do sistema, na forma
H\left(x_{1}, x_{2}\right)=C
onde C é uma constante arbitrária e onde você deve encontrar a função H\left(x_{1}, x_{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema autônomo
\begin{aligned} \frac{d x_{1}}{d t} &= x_{2},\\[4pt] \frac{d x_{2}}{d t} &= -\sin x_{1}, \end{aligned}
onde (x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2} e pede duas coisas:
  • (a) Determinar todos os pontos críticos (ou pontos de equilíbrio) do sistema.
  • (b) Encontrar a equação cartesiana das trajetórias de fase na forma \,H(x_{1},x_{2})=C, isto é, achar uma função H cujo valor é constante ao longo de cada solução (primeira integral / energia).
As informações essenciais fornecidas são exatamente as duas equações acima; não há condições iniciais nem figuras adicionais.]

Passo 2

O que é um ponto crítico (equilíbrio) de um sistema autônomo?
É um ponto (x_{1}^*,x_{2}^*) tal que as derivadas temporais são nulas ali, ou seja as velocidades são zero. Então devemos resolver o sistema
\begin{aligned} x_{2} &= 0,\\[4pt] -\sin x_{1} &= 0. \end{aligned}
Não estamos resolvendo para tempo, e sim para as coordenadas onde as duas equações se anulam simultaneamente.]

Passo 3

Resolver as equações para os pontos críticos:
  • Da primeira equação obtemos \,x_{2}=0.
  • Da segunda equação obtemos \sin x_{1}=0. As soluções de \sin x_{1}=0 são
x_{1}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto todos os pontos críticos são
\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(k\pi,\,0\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
(Isto responde a letra (a).)

Passo 4

Agora vamos achar uma primeira integral H(x_{1},x_{2}) constante ao longo das trajetórias — a equação cartesiana das curvas de fase.
Estratégia prática que funciona aqui: eliminar a dependência em t formando \dfrac{d x_{2}}{d x_{1}}=\dfrac{(d x_{2}/dt)}{(d x_{1}/dt)}. Como d x_{1}/dt=x_{2} (e lembrando que para trajetórias onde x_{2}\neq0 isso é válido ponto a ponto), obtemos
\frac{d x_{2}}{d x_{1}} = \frac{-\sin x_{1}}{x_{2}}.
Trata-se de uma equação separável em x_{2} e x_{1}. Vamos rearranjar para integrar.

Passo 5

Separe as variáveis e integre cuidadosamente:
x_{2}\,d x_{2} = -\sin x_{1}\,d x_{1}.
Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
\int x_{2}\,d x_{2} = \int -\sin x_{1}\,d x_{1}.
Calcule as integrais explicitamente:
\frac{1}{2}x_{2}^{2} = \cos x_{1} + C,
onde C é uma constante de integração. Reorganizando em uma forma padrão para uma primeira integral, podemos escrever
\frac{1}{2}x_{2}^{2} - \cos x_{1} = C.
Definindo
H(x_{1},x_{2}) \coloneqq \frac{1}{2}x_{2}^{2} - \cos x_{1},
obtêm-se as curvas de fase como os níveis H(x_{1},x_{2})=C, com C arbitrário.

Passo 6

Verificação (importante didaticamente): mostrar que H é constante ao longo das soluções do sistema. Calcule a derivada temporal de H usando as equações do sistema:
\frac{d}{dt}H(x_{1}(t),x_{2}(t)) = x_{2}\,\frac{d x_{2}}{dt} + \sin x_{1}\,\frac{d x_{1}}{dt}.
Substituindo \dfrac{d x_{2}}{dt}=-\sin x_{1} e \dfrac{d x_{1}}{dt}=x_{2} obtemos
\frac{dH}{dt} = x_{2}(-\sin x_{1}) + \sin x_{1}\,x_{2} = 0.
Logo H é de fato conservado ao longo das soluções, confirmando que \,H(x_{1},x_{2})=C descreve corretamente as trajetórias de fase.

Passo 7

Observações úteis para a prova (curta e prática):
  • A forma H=\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}-\cos x_{1} é uma primeira integral. Alternativamente pode-se usar a forma deslocada \dfrac{1}{2}x_{2}^{2}+(1-\cos x_{1})=C' (a diferença é apenas uma constante), que às vezes é preferida pois torna o termo potencial não negativo.
  • Níveis com valores baixos de C correspondem a órbitas fechadas (pequenas oscilações em torno de x_{1}=2k\pi), enquanto níveis maiores podem corresponder a movimentos rotacionais (passagem por múltiplos picos), mas isso é interpretação adicional, não exigida pelo enunciado.

Resposta

(x_{1},x_{2})=\big(k\pi,\,0\big),\\ k\in\mathbb{Z}.
\displaystyle H(x_{1},x_{2})=\frac{1}{2}x_{2}^{2}-\cos x_{1},\quad\text{e as trajetórias são }H(x_{1},x_{2})=C.óã

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