QUESTÃO No. 4 (25 pontos)
Considere o seguinte sistema não linear de equações diferenciais:
onde
e
.
a) ( 12 pontos) Determine todos os pontos críticos do sistema.
b) (13 pontos) Encontre a equação cartesiana das trajetórias de fase do sistema, na forma
onde
é uma constante arbitrária e onde você deve encontrar a função
.
a) ( 12 pontos) Determine todos os pontos críticos do sistema.
b) (13 pontos) Encontre a equação cartesiana das trajetórias de fase do sistema, na forma
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema autônomo
onde
e pede duas coisas:
- (a) Determinar todos os pontos críticos (ou pontos de equilíbrio) do sistema.
- (b) Encontrar a equação cartesiana das trajetórias de fase na forma
, isto é, achar uma função cujo valor é constante ao longo de cada solução (primeira integral / energia).
As informações essenciais fornecidas são exatamente as duas equações acima; não há condições iniciais nem figuras adicionais.]
Passo 2
O que é um ponto crítico (equilíbrio) de um sistema autônomo?
É um ponto tal que as derivadas temporais são nulas ali, ou seja as velocidades são zero. Então devemos resolver o sistema
É um ponto
Não estamos resolvendo para tempo, e sim para as coordenadas onde as duas equações se anulam simultaneamente.]
Passo 3
Resolver as equações para os pontos críticos:
- Da primeira equação obtemos
. - Da segunda equação obtemos
. As soluções de são
Portanto todos os pontos críticos são
(Isto responde a letra (a).)
Passo 4
Agora vamos achar uma primeira integral
constante ao longo das trajetórias — a equação cartesiana das curvas de fase.
Estratégia prática que funciona aqui: eliminar a dependência em
formando
. Como
(e lembrando que para trajetórias onde
isso é válido ponto a ponto), obtemos
Trata-se de uma equação separável em
e
. Vamos rearranjar para integrar.
Passo 5
Separe as variáveis e integre cuidadosamente:
Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
Calcule as integrais explicitamente:
onde
é uma constante de integração. Reorganizando em uma forma padrão para uma primeira integral, podemos escrever
Definindo
obtêm-se as curvas de fase como os níveis
, com
arbitrário.
Passo 6
Verificação (importante didaticamente): mostrar que
é constante ao longo das soluções do sistema. Calcule a derivada temporal de
usando as equações do sistema:
Substituindo
e
obtemos
Logo
é de fato conservado ao longo das soluções, confirmando que
descreve corretamente as trajetórias de fase.
Passo 7
Observações úteis para a prova (curta e prática):
- A forma
é uma primeira integral. Alternativamente pode-se usar a forma deslocada (a diferença é apenas uma constante), que às vezes é preferida pois torna o termo potencial não negativo. - Níveis com valores baixos de
correspondem a órbitas fechadas (pequenas oscilações em torno de ), enquanto níveis maiores podem corresponder a movimentos rotacionais (passagem por múltiplos picos), mas isso é interpretação adicional, não exigida pelo enunciado.