QUESTÃO No. 3 (25 pontos)
Uma corda de comprimento
possui as extremidades fixas. No instante inicial esta corda se encontra em posição horizontal
. Nesse instante é transmitida a seguinte distribuição de velocidades aos pontos da corda:
Ao resolver o problema de contorno para as vibrações desta corda, utilizando o Método de Separaçāo de Variáveis, encontra-se que a amplitude vertical de oscilação de um ponto que se encontra a uma distância
da extremidade esquerda da corda, no instante
, vem dada por:
onde
é a velocidade de propagação de um pulso na corda (conhecida).
Não é pedido deduzir a expressão de
, dada em (1).
Mostre que quando transcorreram
segundos (ou seja,
do período das oscilações da corda), e todos os pontos da corda atingiram a máxima altura possível, o perfil da corda corresponde ao de uma parábola invertida.
Sugestão:
As seguintes igualdades, válidas para
, foram tiradas do exercício 10 a) da Lista No. 6:
Passo 1
O enunciado dá a amplitude vertical da corda
com
,
e
. Pede-se mostrar que para
(um quarto do período) — instante em que “todos os pontos atingiram a máxima altura possível” — o perfil
é uma parábola invertida.
Também são fornecidas as igualdades (válidas para ):
Também são fornecidas as igualdades (válidas para
Passo 2
Avalio a função seno temporal no instante pedido. Para
temos, para
,
Portanto
Conhecendo os valores padrão de
em múltiplos ímpares de
, obtemos
(Isto pode ser verificado nos primeiros casos:
,
, etc.)
Passo 3
Substituo esse valor na série de
. O fator temporal
vale
, então o produto com o fator
da série dá
Logo a expressão para
no instante
fica
Aqui a soma é sobre os inteiros ímpares
, isto é
Passo 4
Uso a igualdade fornecida na sugestão (segunda fórmula), válida para
:
Isolo a soma que aparece em
:
Passo 5
Substituo essa expressão na fórmula de
do Passo 3:
Simplificando os fatores:
portanto
Passo 6
Interpreto o resultado:
é uma função quadrática em
proporcional a
. Essa função é uma parábola com concavidade negativa no intervalo
(abre para baixo), simétrica em
e com máximo em
. Logo o perfil é exatamente uma “parábola invertida”. Além disso, no instante considerado cada termo modal atingiu seu valor máximo (pois cada
vale
e fez com que cada contribuição modal estivesse com sinal positivo unitário), de modo que a soma também está no valor máximo ponto a ponto — consistente com a afirmação de que “todos os pontos atingiram a máxima altura possível”.