QUESTÃO No. 3 (25 pontos)

Uma corda de comprimento L=\pi possui as extremidades fixas. No instante inicial esta corda se encontra em posição horizontal \left(f_{0}(x)=0, x \in[0, \pi]\right). Nesse instante é transmitida a seguinte distribuição de velocidades aos pontos da corda:
v_{0}(x)=\left\{\begin{array}{ccc} u_{0} \cdot x / \pi & \text { se } & 0 \leq x \leq \pi / 2 \\\ u_{0} \cdot(1-x / \pi) & \text { se } & \pi / 2<x \leq \pi \end{array}, u_{0}>0 .\right.
Ao resolver o problema de contorno para as vibrações desta corda, utilizando o Método de Separaçāo de Variáveis, encontra-se que a amplitude vertical de oscilação de um ponto que se encontra a uma distância x da extremidade esquerda da corda, no instante t \geq 0, vem dada por:
z(x, t)=\frac{4 u_{0}}{v \pi^{2}} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{(2 m+1)^{3}} \operatorname{sen}[(2 m+1) x] \operatorname{sen}[(2 m+1) v t]
onde v>0 é a velocidade de propagação de um pulso na corda (conhecida).
Não é pedido deduzir a expressão de z(x, t), dada em (1).
Mostre que quando transcorreram t=\pi /(2 v) segundos (ou seja, 1 / 4 do período das oscilações da corda), e todos os pontos da corda atingiram a máxima altura possível, o perfil da corda corresponde ao de uma parábola invertida.

Sugestão:

As seguintes igualdades, válidas para 0 \leq x \leq \pi, foram tiradas do exercício 10 a) da Lista No. 6:
\begin{aligned} & x(\pi-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\left(\frac{\cos (2 x)}{1^{2}}+\frac{\cos (4 x)}{2^{2}}+\frac{\cos (6 x)}{3^{2}}+\ldots\right) \\\ & x(\pi-x)=\frac{8}{\pi}\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{1^{3}}+\frac{\operatorname{sen}(3 x)}{3^{3}}+\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{5^{3}}+\ldots\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a amplitude vertical da corda
z(x,t)=\frac{4 u_{0}}{v \pi^{2}} \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)^{3}}\sin\big[(2m+1)x\big]\,\sin\big[(2m+1)vt\big],
com u_{0}>0, v>0 e x\in[0,\pi]. Pede-se mostrar que para
t=\frac{\pi}{2v}
(um quarto do período) — instante em que “todos os pontos atingiram a máxima altura possível” — o perfil z(x,t) é uma parábola invertida.
Também são fornecidas as igualdades (válidas para 0\le x\le\pi):
x(\pi-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nx)}{n^{2}},
x(\pi-x)=\frac{8}{\pi}\Big(\frac{\sin(x)}{1^{3}}+\frac{\sin(3x)}{3^{3}}+\frac{\sin(5x)}{5^{3}}+\cdots\Big).

Passo 2

Avalio a função seno temporal no instante pedido. Para t=\dfrac{\pi}{2v} temos, para m=0,1,2,\dots,
(2m+1)vt=(2m+1)v\cdot\frac{\pi}{2v}=\frac{(2m+1)\pi}{2}.
Portanto
\sin\!\big[(2m+1)vt\big]=\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{2}\right).
Conhecendo os valores padrão de \sin em múltiplos ímpares de \pi/2, obtemos
\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{2}\right)=(-1)^{m}.
(Isto pode ser verificado nos primeiros casos: m=0\Rightarrow\sin(\pi/2)=1, m=1\Rightarrow\sin(3\pi/2)=-1, etc.)

Passo 3

Substituo esse valor na série de z(x,t). O fator temporal \sin\big[(2m+1)vt\big] vale (-1)^{m}, então o produto com o fator (-1)^{m} da série dá
(-1)^{m}\,\sin\!\big[(2m+1)vt\big]=(-1)^{m}\cdot(-1)^{m}=1.
Logo a expressão para z no instante t=\dfrac{\pi}{2v} fica
z\!\left(x,\frac{\pi}{2v}\right)=\frac{4u_{0}}{v\pi^{2}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\sin\big[(2m+1)x\big]}{(2m+1)^{3}}.
Aqui a soma é sobre os inteiros ímpares k=2m+1, isto é
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\sin\big[(2m+1)x\big]}{(2m+1)^{3}}=\frac{\sin(x)}{1^{3}}+\frac{\sin(3x)}{3^{3}}+\frac{\sin(5x)}{5^{3}}+\cdots.

Passo 4

Uso a igualdade fornecida na sugestão (segunda fórmula), válida para 0\le x\le\pi:
x(\pi-x)=\frac{8}{\pi}\Big(\frac{\sin(x)}{1^{3}}+\frac{\sin(3x)}{3^{3}}+\frac{\sin(5x)}{5^{3}}+\cdots\Big).
Isolo a soma que aparece em z:
\frac{\sin(x)}{1^{3}}+\frac{\sin(3x)}{3^{3}}+\frac{\sin(5x)}{5^{3}}+\cdots=\frac{\pi}{8}\,x(\pi-x).

Passo 5

Substituo essa expressão na fórmula de z do Passo 3:
z\!\left(x,\frac{\pi}{2v}\right)=\frac{4u_{0}}{v\pi^{2}}\cdot\frac{\pi}{8}\,x(\pi-x).
Simplificando os fatores:
\frac{4}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{4\pi}{8\pi^{2}}=\frac{1}{2\pi},
portanto
z\!\left(x,\frac{\pi}{2v}\right)=\frac{u_{0}}{2v\pi}\,x(\pi-x).

Passo 6

Interpreto o resultado: z\!\left(x,\dfrac{\pi}{2v}\right) é uma função quadrática em x proporcional a x(\pi-x). Essa função é uma parábola com concavidade negativa no intervalo [0,\pi] (abre para baixo), simétrica em x=\dfrac{\pi}{2} e com máximo em x=\dfrac{\pi}{2}. Logo o perfil é exatamente uma “parábola invertida”. Além disso, no instante considerado cada termo modal atingiu seu valor máximo (pois cada \sin[(2m+1)vt] vale (-1)^{m} e fez com que cada contribuição modal estivesse com sinal positivo unitário), de modo que a soma também está no valor máximo ponto a ponto — consistente com a afirmação de que “todos os pontos atingiram a máxima altura possível”.

Resposta

z\!\left(x,\frac{\pi}{2v}\right)=\frac{u_{0}}{2v\pi}\,x(\pi-x)

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