QUESTÃO No. 2 ( 25 pontos)
Resolva o seguinte problema de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado nos dá um problema de valor inicial e pede para resolvê-lo usando a transformada de Laplace. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar a função
para
que satisfaça a equação e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Vou lembrar e explicar as propriedades da transformada de Laplace que vou usar (tudo aqui é ferramenta para transformar a EDO em uma equação algébrica em
).
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
com ,
onde
é a variável complexa da transformada.
- Transformada de derivadas (fórmulas fundamentais para EDOs com condições iniciais): se
, então
Aqui
e
são as condições iniciais dadas.
- Transformada do impulso deslocado (delta de Dirac): para
,
- Teorema do deslocamento no tempo (para a inversa): se
, então
onde
é a função degrau unitário (Heaviside) que vale
para
e
para
.
- Transformadas úteis para identificar inversas:
Agora que temos essas ferramentas, vamos aplicá-las à EDO do Passo 1.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, uso as fórmulas de derivada e a transformada do delta:
Substituindo as fórmulas:
Agora coloco as condições iniciais
e
e simplifico os termos constantes:
Distribuindo o
e somando os termos semelhantes:
Agrupando os termos em
e os termos livres:
Os termos constantes ficam
, então:
Passo 4
Isolo
resolvendo algebricamente:
Agora vou reescrever o denominador completando o quadrado (porque isso facilita identificar inversas do tipo
e
):
Também simplifico o numerador da parte não deslocada:
. Assim posso separar
em duas parcelas (uma com fator
e outra sem):
Escrevi a parcela com
isolada para aplicar o teorema do deslocamento na hora da inversa.
Passo 5
Inverto a primeira parcela (a sem deslocamento):
Comparo com a fórmula conhecida
Portanto a inversa é simplesmente multiplicada por
:
Isto já dá a parte da solução que existe para todos os
independentemente do impulso em
.
Passo 6
Agora trato a segunda parcela (com o fator deslocador
):
Primeiro encontro a inversa da função não deslocada
Como
temos que
Logo a inversa sem deslocamento é
Agora aplico o teorema do deslocamento no tempo: multiplicar por
em
-espaço corresponde a deslocar no tempo e multiplicar por
:
Passo 7
Juntando as duas partes (a obtida no Passo 5 e a do Passo 6), obtemos a solução completa
:
onde
é a função degrau unitário que liga a segunda parcela apenas a partir de
.
Verificação rápida das condições iniciais (confere que a parte deslocada não contribui para
, especialmente em
):
e derivando a parte não deslocada e avaliando em
recupera
, conforme dado (essa verificação é útil na prova para garantir que a solução satisfaz as condições iniciais).