Questão 27. A soma de todos os números compreendidos entre 1 e 667 que não são divisíveis por 3 ou 7 é ?
Passo 1
O enunciado pede: calcular a soma de todos os números inteiros entre
e
(inclusive) que não são divisíveis por
nem por
.
Informações dadas:
- Intervalo: todos os inteiros de
até . - Condição de exclusão: retirar os números divisíveis por
ou por . - Objetivo: obter a soma desses números que restam.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicada de forma didática):
- Primeiro calculamos a soma de todos os números de
a . - Depois calculamos a soma de todos os múltiplos de
no intervalo. - Calculamos a soma de todos os múltiplos de
no intervalo. - Como os números múltiplos de
(ou seja, de e ao mesmo tempo) foram subtraídos duas vezes, adicionamos de volta a soma dos múltiplos de (princípio da inclusão-exclusão). - Finalmente subtraímos do total a soma dos números divisíveis por
ou para obter a soma desejada.
Explicação rápida do princípio da inclusão-exclusão (sem jargões): se eu tiro todos os múltiplos de
e todos os múltiplos de
, os múltiplos de
foram tirados duas vezes, então preciso somá-los de volta uma vez.
Passo 3
Fórmula que vamos usar para somar termos de uma progressão aritmética (PA):
Se uma PA tem termos, primeiro termo
e último termo
, então a soma é
Se uma PA tem
O que cada símbolo significa:
-
= número de termos da sequência. -
= primeiro termo. -
= último termo.
Essa fórmula vem do fato de que a média do primeiro e do último termo é a média de todos os termos quando a diferença é constante; multiplicando essa média porobtemos a soma.
Exemplo rápido para fixar: a soma de
a
é
.
Passo 4
Soma de todos os inteiros de
a
.
Aqui
,
,
. Aplicando a fórmula:
Calculemos passo a passo:
Passo 5
Soma dos múltiplos de
entre
e
.
Primeiro encontramos quantos múltiplos de
existem: é
.
pois
é o maior múltiplo de
≤
.
Então temos uma PA com
,
,
. Aplicando a fórmula:
Calculemos:
Passo 6
Soma dos múltiplos de
entre
e
.
Número de múltiplos de
:
pois
.
PA com
,
,
. Aplicando a fórmula:
Calculemos:
Passo 7
Soma dos múltiplos de
(múltiplos de
e
ao mesmo tempo) entre
e
.
Número de múltiplos de
:
pois
.
PA com
,
,
. Aplicando a fórmula:
Calculemos:
Passo 8
Aplicando inclusão-exclusão para obter a soma dos números divisíveis por
ou
:
Substituindo os valores encontrados:
Calculemos:
Passo 9
Soma desejada: todos os números de
a
que não são divisíveis por
nem por
é a diferença entre o total e os divisíveis por
ou
:
Substituindo:
Resposta
127015