Questão 27. A soma de todos os números compreendidos entre 1 e 667 que não são divisíveis por 3 ou 7 é ?

Passo 1

O enunciado pede: calcular a soma de todos os números inteiros entre 1 e 667 (inclusive) que não são divisíveis por 3 nem por 7.
Informações dadas:
  • Intervalo: todos os inteiros de 1 até 667.
  • Condição de exclusão: retirar os números divisíveis por 3 ou por 7.
  • Objetivo: obter a soma desses números que restam.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicada de forma didática):
  • Primeiro calculamos a soma de todos os números de 1 a 667.
  • Depois calculamos a soma de todos os múltiplos de 3 no intervalo.
  • Calculamos a soma de todos os múltiplos de 7 no intervalo.
  • Como os números múltiplos de 21 (ou seja, de 3 e 7 ao mesmo tempo) foram subtraídos duas vezes, adicionamos de volta a soma dos múltiplos de 21 (princípio da inclusão-exclusão).
  • Finalmente subtraímos do total a soma dos números divisíveis por 3 ou 7 para obter a soma desejada.
Explicação rápida do princípio da inclusão-exclusão (sem jargões): se eu tiro todos os múltiplos de 3 e todos os múltiplos de 7, os múltiplos de 21 foram tirados duas vezes, então preciso somá-los de volta uma vez.

Passo 3

Fórmula que vamos usar para somar termos de uma progressão aritmética (PA):
Se uma PA tem n termos, primeiro termo a_1 e último termo a_n, então a soma é
S = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n).
O que cada símbolo significa:
  • n = número de termos da sequência.
  • a_1 = primeiro termo.
  • a_n = último termo.
    Essa fórmula vem do fato de que a média do primeiro e do último termo é a média de todos os termos quando a diferença é constante; multiplicando essa média por n obtemos a soma.
Exemplo rápido para fixar: a soma de 1 a 5 é \frac{5}{2}(1+5)=\frac{5}{2}\cdot6=15.

Passo 4

Soma de todos os inteiros de 1 a 667.
Aqui n=667, a_1=1, a_n=667. Aplicando a fórmula:
S_{\text{total}} = \frac{667}{2}\,(1+667).
Calculemos passo a passo:
1+667=668,
667\cdot668 = 445556,
S_{\text{total}} = \frac{445556}{2} = 222778.

Passo 5

Soma dos múltiplos de 3 entre 1 e 667.
Primeiro encontramos quantos múltiplos de 3 existem: é \left\lfloor \dfrac{667}{3}\right\rfloor.
\left\lfloor \dfrac{667}{3}\right\rfloor = 222,
pois 3\cdot222=666 é o maior múltiplo de 3 667.
Então temos uma PA com n_3=222, a_1=3, a_{n_3}=666. Aplicando a fórmula:
S_3 = \frac{222}{2}\,(3+666).
Calculemos:
3+666=669,
\frac{222}{2}=111,
S_3 = 111\cdot669 = 74259.

Passo 6

Soma dos múltiplos de 7 entre 1 e 667.
Número de múltiplos de 7:
\left\lfloor \dfrac{667}{7}\right\rfloor = 95,
pois 7\cdot95=665.
PA com n_7=95, a_1=7, a_{n_7}=665. Aplicando a fórmula:
S_7 = \frac{95}{2}\,(7+665).
Calculemos:
7+665=672,
\frac{672}{2}=336,
S_7 = 95\cdot336 = 31920.

Passo 7

Soma dos múltiplos de 21 (múltiplos de 3 e 7 ao mesmo tempo) entre 1 e 667.
Número de múltiplos de 21:
\left\lfloor \dfrac{667}{21}\right\rfloor = 31,
pois 21\cdot31=651.
PA com n_{21}=31, a_1=21, a_{n_{21}}=651. Aplicando a fórmula:
S_{21} = \frac{31}{2}\,(21+651).
Calculemos:
21+651=672,
\frac{672}{2}=336,
S_{21} = 31\cdot336 = 10416.

Passo 8

Aplicando inclusão-exclusão para obter a soma dos números divisíveis por 3 ou 7:
S_{\text{div3ou7}} = S_3 + S_7 - S_{21}.
Substituindo os valores encontrados:
S_{\text{div3ou7}} = 74259 + 31920 - 10416.
Calculemos:
74259 + 31920 = 106179,
106179 - 10416 = 95763.

Passo 9

Soma desejada: todos os números de 1 a 667 que não são divisíveis por 3 nem por 7 é a diferença entre o total e os divisíveis por 3 ou 7:
S_{\text{desejada}} = S_{\text{total}} - S_{\text{div3ou7}}.
Substituindo:
S_{\text{desejada}} = 222778 - 95763 = 127015.

Resposta

127015

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