Questão 28 (ENA-PROFMAT-2024). Seja
uma progressão aritmética. Sabendo que
é correto afirmar que
é igual a ?
Passo 1
O enunciado dá que os termos
formam uma progressão aritmética e que a soma dos 100 primeiros termos é
, isto é,
A pergunta pede o valor de
ou seja, a soma dos termos do segundo ao nonagésimo nono. Listei as informações principais: a sequência é uma PA,
, e queremos a soma sem o primeiro e o último termos.
Passo 2
Definições e fórmulas úteis (explicadas devagarinho).
- Chame de
a razão da progressão aritmética. Então o -ésimo termo é dado por
onde
é o primeiro termo e
é a diferença comum entre termos.
- A fórmula da soma dos primeiros
termos de uma PA é
Explicação curta dessa fórmula: os termos podem ser emparelhados da frente e de trás (
), cada par tem soma igual a
e há
pares quando
é par; daí vem
.
Passo 3
Aplique a fórmula da soma para
. Temos
Mas o enunciado diz que
. Então
Resolvendo para
,
Interpretação: a soma do primeiro com o último termo vale
. A média (valor médio) de
e
é
.
Passo 4
A soma pedida é exatamente a soma total menos o primeiro e o último termos:
Substituindo os valores conhecidos,
Como verificação alternativa (mesma resposta, outro caminho): os termos
a
são
termos e, em uma PA, o par
tem a mesma soma que
, isto é
; portanto a média desses 98 termos é
e a soma é
.