Questão 28 (ENA-PROFMAT-2024). Seja \left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{100}\right\} uma progressão aritmética. Sabendo que a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{100}=2500 é correto afirmar que a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{98}+a_{99} é igual a ?

Passo 1

O enunciado dá que os termos \{a_{1},a_{2},\dots,a_{100}\} formam uma progressão aritmética e que a soma dos 100 primeiros termos é 2500, isto é,
S_{100}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}=2500.
A pergunta pede o valor de
a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{98}+a_{99},
ou seja, a soma dos termos do segundo ao nonagésimo nono. Listei as informações principais: a sequência é uma PA, S_{100}=2500, e queremos a soma sem o primeiro e o último termos.

Passo 2

Definições e fórmulas úteis (explicadas devagarinho).
  • Chame de d a razão da progressão aritmética. Então o n-ésimo termo é dado por
a_{n}=a_{1}+(n-1)d,
onde a_{1} é o primeiro termo e d é a diferença comum entre termos.
  • A fórmula da soma dos primeiros n termos de uma PA é
S_{n}=\frac{n}{2}\,(a_{1}+a_{n}).
Explicação curta dessa fórmula: os termos podem ser emparelhados da frente e de trás ( a_{1}+a_{n}, a_{2}+a_{n-1},\ldots), cada par tem soma igual a a_{1}+a_{n} e há n/2 pares quando n é par; daí vem S_n=(n/2)(a_1+a_n).

Passo 3

Aplique a fórmula da soma para n=100. Temos
S_{100}=\frac{100}{2}\,(a_{1}+a_{100})=50\,(a_{1}+a_{100}).
Mas o enunciado diz que S_{100}=2500. Então
2500=50\,(a_{1}+a_{100}).
Resolvendo para a_{1}+a_{100},
a_{1}+a_{100}=\frac{2500}{50}=50.
Interpretação: a soma do primeiro com o último termo vale 50. A média (valor médio) de a_1 e a_{100} é 25.

Passo 4

A soma pedida é exatamente a soma total menos o primeiro e o último termos:
a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{99}=S_{100}-a_{1}-a_{100}.
Substituindo os valores conhecidos,
a_{2}+\cdots+a_{99}=2500-(a_{1}+a_{100})=2500-50=2450.
Como verificação alternativa (mesma resposta, outro caminho): os termos a_{2} a a_{99} são 98 termos e, em uma PA, o par a_{2}+a_{99} tem a mesma soma que a_{1}+a_{100}, isto é 50; portanto a média desses 98 termos é 25 e a soma é 98\cdot25=2450.

Resposta

2450

Exercícios relacionados