Questão 2: [3,0 pts] Uma partícula de carga
está localizada na origem de um sistema de coordenadas. Outras duas partículas com cargas
e
estão localizadas nos pontos com as coordenadas
e
, respectivamente. Uma quarta partícula, com carga
esta localizada no ponto (
, 0 ). Encontre, (a)
o campo elétrico
no ponto (
); (b)
o potencial elétrico no ponto
; (c) [0,5 pt] a energia potencial elétrica armazenada na configuração; (d) [0,5 pt] a força elétrica
que uma partícula de carga
sentiria quando colocada no ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá quatro partículas puntiformes com cargas e posições (todas as coordenadas em relação ao mesmo sistema):
- carga
em . - carga
em . - carga
em . - carga
em .
Ponto onde se pede calcular coisas:
.
Perguntas:
(a) encontrar o campo elétrico no ponto
;
(b) encontrar o potencial elétrico no ponto
;
(c) encontrar a energia potencial elétrica total armazenada na configuração das quatro cargas;
(d) encontrar a força elétrica que uma partícula de carga
sentiria se colocada em
.
(a) encontrar o campo elétrico
(b) encontrar o potencial elétrico
(c) encontrar a energia potencial elétrica total
(d) encontrar a força elétrica
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (com explicação de cada símbolo, passo a passo).
- Constante:
. Aqui é a permissividade do vácuo e é a constante de Coulomb. - Campo elétrico devido a uma carga pontual
situada em , observado em :
Explicação:
é o vetor que vai da carga até o ponto de observação; seu módulo é a distância
; a fórmula dá vetor com direção correta e magnitude
com o sinal de
.
- Potencial elétrico devido a
em , no ponto (escalar):
Explicação: soma escalar simples de potencias (potencial é aditivo).
- Energia potencial eletrostática total de um conjunto de cargas puntuais:
onde a soma é sobre todos os pares distintos e
é a distância entre as cargas
e
.
Vou aplicar essas fórmulas ao ponto
e às quatro cargas dadas.
Passo 3
Calcular vetores posição relativos e distâncias do ponto
até cada carga, e suas direções unitárias quando necessário.
Denotar o ponto
por
.
- Carga
em :
Unidade na direção:
.
- Carga
em :
Unidade:
.
- Carga
em :
Unidade:
.
- Carga
em :
Unidade:
.
Passo 4
Calcular o campo elétrico no ponto
devido a cada carga (usar
). Vou escrever componentes
(para
) e
(para
).
- Devido a
em :
- Devido a
em :
distânciaentão .
- Devido a
em :
simetricamente, magnitude igual à do caso 2, mas com:
- Devido a
em :
distância, então :
Passo 5
Somar as componentes
e
de
.
Componente
:
Observe que os termos com
se cancelam:
. Restam dois termos iguais:
Componente
:
(usei
).
Portanto o campo total no ponto
é
Passo 6
Calcular o potencial elétrico
no ponto
. Potencial é escalar e soma simples
.
Usar as distâncias já calculadas:
- devido a
(origem): . - devido a
(em ): . - devido a
(em ): . - devido a
(em ): .
Os termos
e
cancelam entre si. Assim
Logo
Passo 7
Energia potencial total
da configuração das quatro cargas: usar
Enumerando as cargas 1:
em
, 2:
em
, 3:
em
, 4:
em
. Calcular cada par:
- par (1,2):
, termo . - par (1,3):
, termo .
Esses dois se cancelam:. - par (1,4):
, termo . - par (2,3):
, termo .
Somando com (1,4) dá. - par (2,4):
, termo . - par (3,4):
, termo .
Os termos (2,4) e (3,4) se cancelam entre si.
Restou apenas a soma dos não cancelados que deu
Portanto
Passo 8
Força elétrica sobre uma partícula de carga
colocada em
: a força é simplesmente a carga de prova multiplicada pelo campo elétrico no ponto (campo calculado no Passo 5). Assim