Questão 2: [3,0 pts] Uma partícula de carga q está localizada na origem de um sistema de coordenadas. Outras duas partículas com cargas 2 q e -2 q estão localizadas nos pontos com as coordenadas (0, a) e (0,-a), respectivamente. Uma quarta partícula, com carga 4 q esta localizada no ponto ( a, 0 ). Encontre, (a) [1,5 p t s] o campo elétrico \vec{E} no ponto ( -a, 0 ); (b) [0,5 p t] o potencial elétrico no ponto (-a, 0); (c) [0,5 pt] a energia potencial elétrica armazenada na configuração; (d) [0,5 pt] a força elétrica \vec{F} que uma partícula de carga q sentiria quando colocada no ponto ( -a, 0 ).

Passo 1

O enunciado dá quatro partículas puntiformes com cargas e posições (todas as coordenadas em relação ao mesmo sistema):
  • carga \,q em (0,0).
  • carga 2q em (0,a).
  • carga -2q em (0,-a).
  • carga 4q em (a,0).
Ponto onde se pede calcular coisas: (-a,0).
Perguntas:
(a) encontrar o campo elétrico \vec{E} no ponto (-a,0);
(b) encontrar o potencial elétrico V no ponto (-a,0);
(c) encontrar a energia potencial elétrica total U armazenada na configuração das quatro cargas;
(d) encontrar a força elétrica \vec{F} que uma partícula de carga q sentiria se colocada em (-a,0).

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (com explicação de cada símbolo, passo a passo).
  • Constante: \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e k é a constante de Coulomb.
  • Campo elétrico devido a uma carga pontual Q situada em \vec{r}', observado em \vec{r}:
\vec{E}(\vec{r})=k\,Q\,\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}.
Explicação: \vec{r}-\vec{r}' é o vetor que vai da carga até o ponto de observação; seu módulo é a distância r; a fórmula dá vetor com direção correta e magnitude k|Q|/r^{2} com o sinal de Q.
  • Potencial elétrico devido a Q em \vec{r}', no ponto \vec{r} (escalar):
V(\vec{r})=k\,\frac{Q}{|\vec{r}-\vec{r}'|}.
Explicação: soma escalar simples de potencias (potencial é aditivo).
  • Energia potencial eletrostática total de um conjunto de cargas puntuais:
U = k\sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}},
onde a soma é sobre todos os pares distintos e r_{ij} é a distância entre as cargas i e j.
Vou aplicar essas fórmulas ao ponto \vec{r}=(-a,0) e às quatro cargas dadas.

Passo 3

Calcular vetores posição relativos e distâncias do ponto P=(-a,0) até cada carga, e suas direções unitárias quando necessário.
Denotar o ponto P por \vec{r}_P=(-a,0).
  1. Carga q em \vec{r}_1=(0,0):
\vec{r}_P-\vec{r}_1 = (-a,0)- (0,0)=(-a,0),\qquad r_1=|\vec{r}_P-\vec{r}_1|=a.
Unidade na direção: \dfrac{(-a,0)}{a}=(-1,0).
  1. Carga 2q em \vec{r}_2=(0,a):
\vec{r}_P-\vec{r}_2 = (-a,0)-(0,a)=(-a,-a),\qquad r_2=|\vec{r}_P-\vec{r}_2|=\sqrt{(-a)^2+(-a)^2}=\sqrt{2}\,a.
Unidade: \dfrac{(-a,-a)}{\sqrt{2}a}=(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}).
  1. Carga -2q em \vec{r}_3=(0,-a):
\vec{r}_P-\vec{r}_3 = (-a,0)-(0,-a)=(-a,a),\qquad r_3=|\vec{r}_P-\vec{r}_3|=\sqrt{2}\,a.
Unidade: \dfrac{(-a,a)}{\sqrt{2}a}=(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}).
  1. Carga 4q em \vec{r}_4=(a,0):
\vec{r}_P-\vec{r}_4 = (-a,0)-(a,0)=(-2a,0),\qquad r_4=|\vec{r}_P-\vec{r}_4|=2a.
Unidade: (-1,0).

Passo 4

Calcular o campo elétrico no ponto P devido a cada carga (usar \vec{E}=kQ(\vec{r}_P-\vec{r}')/r^{3}). Vou escrever componentes x (para \hat{\mathbf{i}}) e y (para \hat{\mathbf{j}}).
  1. Devido a q em (0,0):
\vec{E}_1 = k\,q\,\frac{(-a,0)}{a^{3}} = k\,q\frac{1}{a^{2}}(-1,0)= -\frac{kq}{a^{2}}\hat{\mathbf{i}}.
  1. Devido a 2q em (0,a):
    distância r_2=\sqrt{2}a então r_2^{3}=(\sqrt{2}a)^{3}=2\sqrt{2}\,a^{3}.
\vec{E}_2 = k\,(2q)\frac{(-a,-a)}{( \sqrt{2}a)^{3}} = k\,(2q)\frac{(-a,-a)}{2\sqrt{2}\,a^{3}} = k\,q\frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}\,a^{2}} = -\frac{kq}{\sqrt{2}\,a^{2}}\hat{\mathbf{i}} -\frac{kq}{\sqrt{2}\,a^{2}}\hat{\mathbf{j}}.
  1. Devido a -2q em (0,-a):
    simetricamente, magnitude igual à do caso 2, mas com Q=-2q:
\vec{E}_3 = k\,(-2q)\frac{(-a,a)}{( \sqrt{2}a)^{3}} = -k\,q\frac{(-1,1)}{\sqrt{2}\,a^{2}} = \frac{kq}{\sqrt{2}\,a^{2}}\hat{\mathbf{i}} -\frac{kq}{\sqrt{2}\,a^{2}}\hat{\mathbf{j}}.
  1. Devido a 4q em (a,0):
    distância 2a, então r_4^{3}=(2a)^{3}=8a^{3}:
\vec{E}_4 = k\,(4q)\frac{(-2a,0)}{(2a)^{3}} = k\,(4q)\frac{(-2a,0)}{8a^{3}} = k\,q\frac{(-1,0)}{a^{2}} = -\frac{kq}{a^{2}}\hat{\mathbf{i}}.

Passo 5

Somar as componentes x e y de \vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3+\vec{E}_4.
Componente x:
E_x = \Big(-\frac{kq}{a^{2}}\Big) + \Big(-\frac{kq}{\sqrt{2}a^{2}}\Big) + \Big(\frac{kq}{\sqrt{2}a^{2}}\Big) + \Big(-\frac{kq}{a^{2}}\Big).
Observe que os termos com 1/\sqrt{2} se cancelam: -\frac{kq}{\sqrt{2}a^{2}}+\frac{kq}{\sqrt{2}a^{2}}=0. Restam dois termos iguais:
E_x = -\frac{kq}{a^{2}} -\frac{kq}{a^{2}} = -\frac{2kq}{a^{2}}.
Componente y:
E_y = 0 +\Big(-\frac{kq}{\sqrt{2}a^{2}}\Big) + \Big(-\frac{kq}{\sqrt{2}a^{2}}\Big) + 0 = -\frac{2kq}{\sqrt{2}a^{2}} = -\frac{\sqrt{2}\,kq}{a^{2}}.
(usei 2/\sqrt{2}=\sqrt{2}).
Portanto o campo total no ponto P=(-a,0) é
\boxed{\displaystyle \vec{E}( -a,0)= -\frac{kq}{a^{2}}\big(2\,\hat{\mathbf{i}}+\sqrt{2}\,\hat{\mathbf{j}}\big).}

Passo 6

Calcular o potencial elétrico V no ponto P. Potencial é escalar e soma simples V=\sum k Q/r.
Usar as distâncias já calculadas:
  • devido a q (origem): V_1 = k\frac{q}{a}.
  • devido a 2q (em (0,a)): V_2 = k\frac{2q}{\sqrt{2}a} = k\frac{\sqrt{2}\,q}{a}.
  • devido a -2q (em (0,-a)): V_3 = k\frac{-2q}{\sqrt{2}a} = -k\frac{\sqrt{2}\,q}{a}.
  • devido a 4q (em (a,0)): V_4 = k\frac{4q}{2a} = k\frac{2q}{a}.
Os termos V_2 e V_3 cancelam entre si. Assim
V(P)=V_1+V_2+V_3+V_4 = k\frac{q}{a} + 0 + k\frac{2q}{a} = k\frac{3q}{a}.
Logo
\boxed{\displaystyle V(-a,0)=\frac{3kq}{a}.}

Passo 7

Energia potencial total U da configuração das quatro cargas: usar
U = k\sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.
Enumerando as cargas 1: q em (0,0), 2: 2q em (0,a), 3: -2q em (0,-a), 4: 4q em (a,0). Calcular cada par:
  • par (1,2): r_{12}=a, termo k\frac{q\cdot 2q}{a}=k\frac{2q^{2}}{a}.
  • par (1,3): r_{13}=a, termo k\frac{q\cdot(-2q)}{a}=k\frac{-2q^{2}}{a}.
    Esses dois se cancelam: 2q^{2}/a -2q^{2}/a=0.
  • par (1,4): r_{14}=a, termo k\frac{q\cdot 4q}{a}=k\frac{4q^{2}}{a}.
  • par (2,3): r_{23}=2a, termo k\frac{(2q)(-2q)}{2a}=k\frac{-4q^{2}}{2a}=k\frac{-2q^{2}}{a}.
    Somando com (1,4) dá 4q^{2}/a - 2q^{2}/a = 2q^{2}/a.
  • par (2,4): r_{24}=\sqrt{2}a, termo k\frac{(2q)(4q)}{\sqrt{2}a}=k\frac{8q^{2}}{\sqrt{2}a}=k\frac{4\sqrt{2}\,q^{2}}{a}.
  • par (3,4): r_{34}=\sqrt{2}a, termo k\frac{(-2q)(4q)}{\sqrt{2}a}=k\frac{-8q^{2}}{\sqrt{2}a}=k\frac{-4\sqrt{2}\,q^{2}}{a}.
    Os termos (2,4) e (3,4) se cancelam entre si.
Restou apenas a soma dos não cancelados que deu
U = k\frac{2q^{2}}{a}.
Portanto
\boxed{\displaystyle U = \frac{2kq^{2}}{a}.}

Passo 8

Força elétrica sobre uma partícula de carga q colocada em P=(-a,0): a força é simplesmente a carga de prova multiplicada pelo campo elétrico no ponto (campo calculado no Passo 5). Assim
\vec{F}=q\,\vec{E}( -a,0 ) = q\left(-\frac{kq}{a^{2}}(2\hat{\mathbf{i}}+\sqrt{2}\hat{\mathbf{j}})\right) = -\frac{kq^{2}}{a^{2}}\big(2\hat{\mathbf{i}}+\sqrt{2}\hat{\mathbf{j}}\big).

Resposta

\displaystyle \vec{E}(-a,0)=-\frac{kq}{a^{2}}\big(2\hat{\mathbf{i}}+\sqrt{2}\hat{\mathbf{j}}\big)\n
\displaystyle V(-a,0)=\frac{3kq}{a}\n
\displaystyle U=\frac{2kq^{2}}{a}\n
\displaystyle \vec{F}=-\frac{kq^{2}}{a^{2}}\big(2\hat{\mathbf{i}}+\sqrt{2}\hat{\mathbf{j}}\big)

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