Questão 30 (Fuvest). A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, é ?
Passo 1
O enunciado pede: “A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, é ?”.
Informações dadas:
Informações dadas:
- São consideradas frações da forma
. - A fração deve ser positiva:
. - A fração deve ser menor do que
: . - A fração deve ser irredutível (ou seja, numerador e denominador têm máximo divisor comum igual a
): .
A primeira ação é traduzir as duas desigualdades em restrição para o numerador
.
Passo 2
Transformando a condição de intervalo em desigualdades para
:
Multiplicando todos os termos por
(número positivo, então o sentido das desigualdades não muda):
Como
é numerador inteiro positivo, isso significa que
pode ser qualquer inteiro em:
Passo 3
Agora a condição de irredutibilidade: queremos
.
Observação simples e útil: . Isso significa que qualquer
par terá
como divisor comum com
, logo não será coprimo com
. Portanto os únicos
com
são os números ímpares. Assim os numeradores válidos são os números ímpares entre
e
:
Observação simples e útil:
Passo 4
Contagem desses numeradores ímpares: é uma progressão aritmética com primeiro termo
, último termo
e razão
. O número de termos
é
Portanto há
frações irredutíveis dessa forma.
Passo 5
A soma procurada é
Então precisamos calcular a soma dos
ímpares de
a
.
Passo 6
Cálculo da soma dos termos ímpares (usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética): com
, primeiro termo
e último termo
,
Passo 7
Substituindo na expressão de
:
Resposta
100