Questão 30 (Fuvest). A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, é ?

Passo 1

O enunciado pede: “A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, é ?”.
Informações dadas:
  • São consideradas frações da forma \dfrac{k}{4}.
  • A fração deve ser positiva: \dfrac{k}{4} > 0.
  • A fração deve ser menor do que 10: \dfrac{k}{4} < 10.
  • A fração deve ser irredutível (ou seja, numerador e denominador têm máximo divisor comum igual a 1): \gcd(k,4)=1.
A primeira ação é traduzir as duas desigualdades em restrição para o numerador k.

Passo 2

Transformando a condição de intervalo em desigualdades para k:
0 < \dfrac{k}{4} < 10
Multiplicando todos os termos por 4 (número positivo, então o sentido das desigualdades não muda):
0 < k < 40
Como k é numerador inteiro positivo, isso significa que k pode ser qualquer inteiro em:
k \in \{1,2,3,\dots,39\}.

Passo 3

Agora a condição de irredutibilidade: queremos \gcd(k,4)=1.
Observação simples e útil: 4=2^2. Isso significa que qualquer k par terá 2 como divisor comum com 4, logo não será coprimo com 4. Portanto os únicos k com \gcd(k,4)=1 são os números ímpares. Assim os numeradores válidos são os números ímpares entre 1 e 39:
k \in \{1,3,5,\dots,39\}.

Passo 4

Contagem desses numeradores ímpares: é uma progressão aritmética com primeiro termo 1, último termo 39 e razão 2. O número de termos n é
n = \frac{39-1}{2} + 1 = \frac{38}{2} + 1 = 19 + 1 = 20.
Portanto há 20 frações irredutíveis dessa forma.

Passo 5

A soma procurada é
S=\sum_{\substack{1\le k\le 39\k\\ \text{ímpar}}} \dfrac{k}{4} = \dfrac{1}{4}\sum_{\substack{1\le k\le 39\k\\ \text{ímpar}}} k.
Então precisamos calcular a soma dos 20 ímpares de 1 a 39.

Passo 6

Cálculo da soma dos termos ímpares (usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética): com n=20, primeiro termo a_1=1 e último termo a_{20}=39,
\sum_{i=1}^{20} a_i = n\cdot\frac{a_1+a_{20}}{2} = 20\cdot\frac{1+39}{2} = 20\cdot\frac{40}{2} = 20\cdot 20 = 400.

Passo 7

Substituindo na expressão de S:
S = \dfrac{1}{4}\cdot 400 = \dfrac{400}{4}.

Resposta

100

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