Questão 36. Obtenha uma P.G de:
c) cinco termos tal que sua soma é
e seu produto é 243 .
c) cinco termos tal que sua soma é
Passo 1
O enunciado pede: obter uma progressão geométrica (P.G.) de cinco termos tal que sua soma vale
e seu produto vale
.
Informações dadas:
- número de termos:
; - soma:
; - produto:
.
O que precisamos encontrar: os cinco termos da P.G. (ou seja, os valores dos cinco termos em ordem).
Passo 2
Modelagem da P.G. e relação produto
- Denotemos a P.G. por
, onde é o primeiro termo e a razão. - O produto dos cinco termos é
Como
, obtemos
Como a raiz quinta de
é
(raízes reais), temos
Comentário didático rápido: este passo usa que a soma dos expoentes na multiplicação é
. Agrupar
é uma técnica útil porque reduz o produto a uma potência da quantidade central
.
Passo 3
Interpretação pelo termo central (truque muito útil em P.G. com número ímpar de termos)
- Para uma P.G. com
termos o termo central (terceiro termo) é . Chamemos esse termo de . Pelo item anterior temos . - Assim os termos escritos em função de
(usando ) são
- Agora a soma pedida é
Dividindo por
obtemos a equação
Passo 4
Reduzir a equação usando simetria e resolver para
- Observe a simetria: defina
. Então
- Portanto
- Igualando:
Passando tudo para um lado e multiplicando por
:
- Calcule o discriminante:
- Assim as soluções para
são
Passo 5
De
para
: resolver
- A equação em
é .
Caso
:
O discriminante é
, então
Para
os termos (com
) são
isto é
Para obtemos a P.G. na ordem inversa:
Verificação rápida: soma e produto
.
Para
Verificação rápida: soma
Caso
:
O discriminante é
. As raízes são
São duas raízes reais (recíprocas entre si), aproximadamente
e
. Para cada uma dessas
a P.G. é
com
valendo cada uma das expressões
. Essas P.G. têm termos alternando de sinal (positivo, negativo, positivo, negativo, positivo), e satisfazem soma e produto pedidos (pela construção).
Passo 6
Conclusão e observações finais (como usar na prova)
- Técnica chave: identificar o termo central
quando há número ímpar de termos; o produto dá , daí fica imediato. - Em seguida reescrever a soma em função de
e usar a simetria para reduzir a equação a uma quadrática em . - Resolver a quadrática em
e depois a quadrática em . Lembre-se de que se é solução, costuma aparecer como a outra solução quando a equação tem essa simetria.