Questão 36. Obtenha uma P.G de:
c) cinco termos tal que sua soma é \frac{121}{3} e seu produto é 243 .

Passo 1

O enunciado pede: obter uma progressão geométrica (P.G.) de cinco termos tal que sua soma vale \dfrac{121}{3} e seu produto vale 243.
Informações dadas:
  • número de termos: 5;
  • soma: \displaystyle S=\frac{121}{3};
  • produto: \displaystyle P=243=3^{5}.
O que precisamos encontrar: os cinco termos da P.G. (ou seja, os valores dos cinco termos em ordem).

Passo 2

Modelagem da P.G. e relação produto
  • Denotemos a P.G. por \;a,\;ar,\;ar^{2},\;ar^{3},\;ar^{4}\;, onde a é o primeiro termo e r a razão.
  • O produto dos cinco termos é
P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot ar^{3}\cdot ar^{4}=a^{5}r^{0+1+2+3+4}=a^{5}r^{10}.
Como P=243=3^{5}, obtemos
a^{5}r^{10}=3^{5}\quad\Longrightarrow\quad (a r^{2})^{5}=3^{5}.
Como a raiz quinta de 3^{5} é 3 (raízes reais), temos
a r^{2}=3.
Comentário didático rápido: este passo usa que a soma dos expoentes na multiplicação é 0+1+2+3+4=10. Agrupar a^{5}r^{10}=(a r^{2})^{5} é uma técnica útil porque reduz o produto a uma potência da quantidade central a r^{2}.

Passo 3

Interpretação pelo termo central (truque muito útil em P.G. com número ímpar de termos)
  • Para uma P.G. com 5 termos o termo central (terceiro termo) é a r^{2}. Chamemos esse termo de m. Pelo item anterior temos m=a r^{2}=3.
  • Assim os termos escritos em função de r (usando m=3) são
3r^{-2},\;3r^{-1},\;3,\;3r,\;3r^{2}.
  • Agora a soma pedida é
S=3\bigl(r^{-2}+r^{-1}+1+r+r^{2}\bigr)=\frac{121}{3}.
Dividindo por 3 obtemos a equação
r^{-2}+r^{-1}+1+r+r^{2}=\frac{121}{9}.

Passo 4

Reduzir a equação usando simetria e resolver para r
  • Observe a simetria: defina t=r+r^{-1}. Então
r^{2}+r^{-2}=t^{2}-2.
  • Portanto
r^{-2}+r^{-1}+1+r+r^{2}=(r^{2}+r^{-2})+(r+r^{-1})+1=(t^{2}-2)+t+1=t^{2}+t-1.
  • Igualando:
t^{2}+t-1=\frac{121}{9}.
Passando tudo para um lado e multiplicando por 9:
9t^{2}+9t-130=0.
  • Calcule o discriminante: \Delta=9^{2}-4\cdot9\cdot(-130)=81+4680=4761=69^{2}.
  • Assim as soluções para t são
t=\frac{-9\pm69}{18}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{10}{3}\quad\text{ou}\quad t=-\frac{13}{3}.

Passo 5

De t para r: resolver r+\dfrac{1}{r}=t
  • A equação em r é r^{2}-t r+1=0.
Caso t=\dfrac{10}{3}:
r^{2}-\frac{10}{3}r+1=0 \quad\Longrightarrow\quad 3r^{2}-10r+3=0.
O discriminante é 100-36=64, então
r=\frac{10\pm8}{6}\quad\Longrightarrow\quad r=3\quad\text{ou}\quad r=\frac{1}{3}.
Para r=3 os termos (com m=3) são
3\cdot 3^{-2}=\frac{1}{3},\quad 3\cdot3^{-1}=1,\quad 3,\quad 9,\quad 27,
isto é \displaystyle \frac{1}{3},\;1,\;3,\;9,\;27.
Para r=\frac{1}{3} obtemos a P.G. na ordem inversa:
\displaystyle 27,\;9,\;3,\;1,\;\frac{1}{3}.
Verificação rápida: soma =\dfrac{1}{3}+1+3+9+27=\dfrac{121}{3} e produto =3^{5}=243.
Caso t=-\dfrac{13}{3}:
r^{2}+\frac{13}{3}r+1=0 \quad\Longrightarrow\quad 3r^{2}+13r+3=0.
O discriminante é 169-36=133. As raízes são
r=\frac{-13\pm\sqrt{133}}{6}.
São duas raízes reais (recíprocas entre si), aproximadamente r\approx-0,24466 e r\approx-4,08866. Para cada uma dessas r a P.G. é
\frac{3}{r^{2}},\;\frac{3}{r},\;3,\;3r,\;3r^{2},
com r valendo cada uma das expressões \dfrac{-13\pm\sqrt{133}}{6}. Essas P.G. têm termos alternando de sinal (positivo, negativo, positivo, negativo, positivo), e satisfazem soma e produto pedidos (pela construção).

Passo 6

Conclusão e observações finais (como usar na prova)
  • Técnica chave: identificar o termo central m=a r^{2} quando há número ímpar de termos; o produto dá m^{5}, daí m fica imediato.
  • Em seguida reescrever a soma em função de r e usar a simetria r^{-2}+r^{-1}+1+r+r^{2}= (r+r^{-1})^{2}+(r+r^{-1})-1 para reduzir a equação a uma quadrática em t=r+r^{-1}.
  • Resolver a quadrática em t e depois a quadrática em r. Lembre-se de que se r é solução, 1/r costuma aparecer como a outra solução quando a equação tem essa simetria.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3},\;1,\;3,\;9,\;27
\displaystyle 27,\;9,\;3,\;1,\;\frac{1}{3}
\displaystyle \frac{3}{\left(\dfrac{-13+\sqrt{133}}{6}\right)^{2}},\;\frac{3}{\dfrac{-13+\sqrt{133}}{6}},\;3,\;3\cdot\dfrac{-13+\sqrt{133}}{6},\;3\left(\dfrac{-13+\sqrt{133}}{6}\right)^{2}
\displaystyle \frac{3}{\left(\dfrac{-13-\sqrt{133}}{6}\right)^{2}},\;\frac{3}{\dfrac{-13-\sqrt{133}}{6}},\;3,\;3\cdot\dfrac{-13-\sqrt{133}}{6},\;3\left(\dfrac{-13-\sqrt{133}}{6}\right)^{2}

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