Questão 36. Obtenha uma P.G de:
b) três termos tal que sua soma seja \frac{21}{8} e a soma de seus quadrados seja \frac{189}{64}.

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica (P.G.) de três termos com as seguintes informações:
  • A soma dos três termos é \dfrac{21}{8}.
  • A soma dos quadrados dos três termos é \dfrac{189}{64}.
O que se pede:
  • Encontrar os três termos da P.G.
Vamos introduzir variáveis para representar a P.G. e usar as duas informações acima para determinar essas variáveis.

Passo 2

Escolha da representação da P.G. e razão da escolha (explicação didática e intuitiva).
  • Para uma P.G. de três termos é muito conveniente usar a forma simétrica
\frac{a}{r},\quad a,\quad ar,
onde a é o termo do meio e r é a razão (com a\neq0 e r\neq0). Essa escolha facilita porque o termo do meio é a média geométrica dos outros dois e as expressões para soma e soma dos quadrados ficam simétricas e mais fáceis de manipular.

Passo 3

Escrever as equações correspondentes às informações do enunciado.
  • A soma dos termos é
\frac{a}{r}+a+ar = a\!\left(\frac{1}{r}+1+r\right).
  • A soma dos quadrados é
\frac{a^{2}}{r^{2}}+a^{2}+a^{2}r^{2} = a^{2}\!\left(\frac{1}{r^{2}}+1+r^{2}\right).
Para simplificar as expressões defina
x = r+\frac{1}{r}.
Observe a identidade (que vale para qualquer r\neq0):
r^{2}+\frac{1}{r^{2}} = \left(r+\frac{1}{r}\right)^{2}-2 = x^{2}-2.
Portanto
\frac{1}{r^{2}}+1+r^{2} = (r^{2}+\frac{1}{r^{2}})+1 = (x^{2}-2)+1 = x^{2}-1.
Também
\frac{1}{r}+1+r = 1 + x.
Usando essas reduções, as duas equações do enunciado ficam:
a(1+x) = \frac{21}{8},
a^{2}(x^{2}-1) = \frac{189}{64}.

Passo 4

Eliminar variáveis e resolver mais facilmente (estratégia algébrica).
  • Denote A=a^{2}. Eleve ao quadrado a primeira equação para expressar em termos de A:
a^{2}(1+x)^{2} = \left(\frac{21}{8}\right)^{2} = \frac{441}{64},
ou seja
A(1+x)^{2} = \frac{441}{64}.
  • A segunda equação escrita com A é
A(x^{2}-1) = \frac{189}{64}.
Subtraindo a segunda da primeira (para eliminar parte do termo em A):
Calcule a diferença à esquerda:
A\big[(1+x)^{2}-(x^{2}-1)\big] = A\big(1+2x+x^{2}-x^{2}+1\big) = A(2+2x)=2A(1+x).
Calcule a diferença à direita:
\frac{441}{64}-\frac{189}{64}=\frac{252}{64}=\frac{63}{16}.
Logo
2A(1+x)=\frac{63}{16}\quad\Rightarrow\quad A(1+x)=\frac{63}{32}.

Passo 5

Usar a primeira equação para relacionar A(1+x) com a e encontrar a.
  • Da primeira equação temos a(1+x)=\dfrac{21}{8}. Multiplicando ambos os lados por a resulta em
a^{2}(1+x)=A(1+x)=a\cdot\frac{21}{8}.
Mas já achamos que A(1+x)=\dfrac{63}{32}. Igualando:
a\cdot\frac{21}{8}=\frac{63}{32}.
Agora resolva para a:
a=\frac{63}{32}\cdot\frac{8}{21}=\frac{63\cdot8}{32\cdot21}=\frac{3}{4}.

Passo 6

Encontrar x usando a.
  • Substitua a=\dfrac{3}{4} na equação a(1+x)=\dfrac{21}{8}:
\frac{3}{4}(1+x)=\frac{21}{8}.
Multiplique ambos os lados por 4:
3(1+x)=\frac{21}{2}\quad\Rightarrow\quad 1+x=\frac{7}{2}.
Assim
x=\frac{7}{2}-1=\frac{5}{2}.

Passo 7

Determinar r a partir de x.
  • Lembrando que x=r+\dfrac{1}{r}, temos
r+\frac{1}{r}=\frac{5}{2}.
Multiplicando por r (com r\neq0) obtemos a equação quadrática
2r^{2}-5r+2=0.
Resolva-a: o discriminante é \Delta=25-16=9, logo
r=\frac{5\pm3}{4}.
Portanto
r=2\quad\text{ou}\quad r=\frac{1}{2}.
(as duas soluções são recíprocas e geram a mesma P.G. apenas em ordem invertida).

Passo 8

Calcular os termos da P.G. usando a=\dfrac{3}{4} e as razões encontradas.
  • Para r=2 os três termos \dfrac{a}{r},a,ar são
\frac{3/4}{2}=\frac{3}{8},\qquad \frac{3}{4},\qquad \frac{3}{4}\cdot 2=\frac{3}{2}.
Verificação rápida:
\frac{3}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{3+6+12}{8}=\frac{21}{8},
\left(\frac{3}{8}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9+36+144}{64}=\frac{189}{64},
confirmando as condições do enunciado.
  • Para r=\dfrac{1}{2} obtém-se a mesma sequência em ordem invertida:
\frac{3}{2},\quad\frac{3}{4},\quad\frac{3}{8}.

Resposta

\dfrac{3}{8},\\ \dfrac{3}{4},\\ \dfrac{3}{2}

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