Questão 36. Obtenha uma P.G de:
b) três termos tal que sua soma seja
e a soma de seus quadrados seja
.
b) três termos tal que sua soma seja
Passo 1
O enunciado dá uma progressão geométrica (P.G.) de três termos com as seguintes informações:
- A soma dos três termos é
. - A soma dos quadrados dos três termos é
.
O que se pede:
- Encontrar os três termos da P.G.
Vamos introduzir variáveis para representar a P.G. e usar as duas informações acima para determinar essas variáveis.
Passo 2
Escolha da representação da P.G. e razão da escolha (explicação didática e intuitiva).
- Para uma P.G. de três termos é muito conveniente usar a forma simétrica
onde
é o termo do meio e
é a razão (com
e
). Essa escolha facilita porque o termo do meio é a média geométrica dos outros dois e as expressões para soma e soma dos quadrados ficam simétricas e mais fáceis de manipular.
Passo 3
Escrever as equações correspondentes às informações do enunciado.
- A soma dos termos é
- A soma dos quadrados é
Para simplificar as expressões defina
Observe a identidade (que vale para qualquer
):
Portanto
Também
Usando essas reduções, as duas equações do enunciado ficam:
Passo 4
Eliminar variáveis e resolver mais facilmente (estratégia algébrica).
- Denote
. Eleve ao quadrado a primeira equação para expressar em termos de :
ou seja
- A segunda equação escrita com
é
Subtraindo a segunda da primeira (para eliminar parte do termo em
):
Calcule a diferença à esquerda:
Calcule a diferença à direita:
Logo
Passo 5
Usar a primeira equação para relacionar
com
e encontrar
.
- Da primeira equação temos
. Multiplicando ambos os lados por resulta em
Mas já achamos que
. Igualando:
Agora resolva para
:
Passo 6
Encontrar
usando
.
- Substitua
na equação :
Multiplique ambos os lados por
:
Assim
Passo 7
Determinar
a partir de
.
- Lembrando que
, temos
Multiplicando por
(com
) obtemos a equação quadrática
Resolva-a: o discriminante é
, logo
Portanto
(as duas soluções são recíprocas e geram a mesma P.G. apenas em ordem invertida).
Passo 8
Calcular os termos da P.G. usando
e as razões encontradas.
- Para
os três termos são
Verificação rápida:
confirmando as condições do enunciado.
- Para
obtém-se a mesma sequência em ordem invertida: