Questão 38. Calcule o produto dos 20 termos da P.G. (-2,-6,-18, \ldots).

Passo 1

O enunciado dá uma progressão com os primeiros termos (-2,-6,-18,\ldots) e pede: calcular o produto dos 20 primeiros termos dessa sequência.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O primeiro termo é \,a_1=-2\,.
  • Os dois primeiros termos são -2 e -6.
  • O número de termos cujo produto queremos é 20.

Passo 2

Identificar a razão da sequência (como se faz na prova: divido um termo pelo anterior). Calculo a razão r usando os dois primeiros termos:
r=\frac{-6}{-2}=3.
Comentário didático: numa progressão geométrica, a razão r é sempre o quociente entre um termo e o termo anterior; aqui deu r=3, ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por 3.

Passo 3

Escrever a fórmula do termo geral (para fixar): o n-ésimo termo de uma P.G. é dado por
a_n = a_1\,r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r a razão. No nosso caso:
a_n = (-2)\cdot 3^{\,n-1}.

Passo 4

Montar a expressão do produto dos 20 primeiros termos. O produto pedido é
\prod_{k=1}^{20} a_k.
Substituindo a_k=a_1 r^{k-1} temos
\prod_{k=1}^{20} a_k=\prod_{k=1}^{20}\bigl(a_1 r^{\,k-1}\bigr).
Usando propriedades de produto de fator comum:
\prod_{k=1}^{20}\bigl(a_1 r^{\,k-1}\bigr)=a_1^{20}\cdot r^{\sum_{k=1}^{20}(k-1)}.
Explicação da fórmula: ao multiplicar 20 fatores a_1 r^{k-1}, o a_1 aparece multiplicado 20 vezes (por isso a_1^{20}) e os expoentes de r somam-se (por isso a potência com a soma dos índices k-1).

Passo 5

Calcular a soma dos expoentes:
\sum_{k=1}^{20}(k-1)=0+1+2+\cdots+19.
Essa é a soma dos primeiros 19 inteiros não negativos; fórmula conhecida (triangular) diz
0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.
Aplicando com n=20:
0+1+\cdots+19=\frac{20\cdot19}{2}=190.

Passo 6

Substituir a_1, r e a soma dos expoentes na expressão do produto:
\prod_{k=1}^{20} a_k = a_1^{20}\cdot r^{190}=(-2)^{20}\cdot 3^{190}.
Agora interpretar o sinal: (-2)^{20} é positivo porque a potência de um número negativo com expoente par é positiva; explicitamente (-2)^{20}=2^{20}. Portanto
\prod_{k=1}^{20} a_k = 2^{20}\cdot 3^{190}.

Passo 7

Opcional — formas alternativas de escrever o resultado (útil na prova se quiser fatorar):
2^{20}\cdot 3^{190}=(2\cdot3)^{20}\cdot 3^{170}=6^{20}\cdot 3^{170}.
Qualquer uma das formas é correta; a mais direta e simples é 2^{20}\cdot 3^{190}.

Passo 8

Checagem rápida com um exemplo menor (para ganhar confiança): produto dos 3 primeiros termos pela fórmula:
\prod_{k=1}^{3} a_k = a_1^{3}\cdot r^{0+1+2}=(-2)^{3}\cdot 3^{3}=-8\cdot27=-216,
e calculando direto (-2)\cdot(-6)\cdot(-18)=-216. A fórmula funciona.

Resposta

2^{20}\cdot 3^{190}

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