Questão 38. Calcule o produto dos 20 termos da P.G.
.
Passo 1
O enunciado dá uma progressão com os primeiros termos
e pede: calcular o produto dos
primeiros termos dessa sequência.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O primeiro termo é
. - Os dois primeiros termos são
e . - O número de termos cujo produto queremos é
.
Passo 2
Identificar a razão da sequência (como se faz na prova: divido um termo pelo anterior). Calculo a razão
usando os dois primeiros termos:
Comentário didático: numa progressão geométrica, a razão
é sempre o quociente entre um termo e o termo anterior; aqui deu
, ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 3
Escrever a fórmula do termo geral (para fixar): o
-ésimo termo de uma P.G. é dado por
onde
é o primeiro termo e
a razão. No nosso caso:
Passo 4
Montar a expressão do produto dos
primeiros termos. O produto pedido é
Substituindo
temos
Usando propriedades de produto de fator comum:
Explicação da fórmula: ao multiplicar
fatores
, o
aparece multiplicado
vezes (por isso
) e os expoentes de
somam-se (por isso a potência com a soma dos índices
).
Passo 5
Calcular a soma dos expoentes:
Essa é a soma dos primeiros
inteiros não negativos; fórmula conhecida (triangular) diz
Aplicando com
:
Passo 6
Substituir
,
e a soma dos expoentes na expressão do produto:
Agora interpretar o sinal:
é positivo porque a potência de um número negativo com expoente par é positiva; explicitamente
. Portanto
Passo 7
Opcional — formas alternativas de escrever o resultado (útil na prova se quiser fatorar):
Qualquer uma das formas é correta; a mais direta e simples é
.
Passo 8
Checagem rápida com um exemplo menor (para ganhar confiança): produto dos 3 primeiros termos pela fórmula:
e calculando direto
. A fórmula funciona.