Questão 40. Qual o valor da expressão
?
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá a expressão
- No numerador aparece a soma das potências de
desde até , ou seja todos os termos com . - No denominador temos a soma
.
O que se pede: calcular o valor dessa expressão (ou seja, simplificar e obter um número).
Passo 2
Primeira ideia útil: fatorar uma potência comum em cima e embaixo para simplificar. Note que
é fator comum tanto no numerador quanto no denominador. Vamos escrever isso claramente.
No numerador:
porque cada termo
e
varia de
até
.
No denominador:
pois
.
Portanto a expressão original vira
Passo 3
Cancelamos o fator
comum em numerador e denominador (já que
). Obtemos
Agora precisamos calcular a soma geométrica
Lembrete: a soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica com razão
e primeiro termo
é
Uma rápida justificativa: multiplica-se por
e subtrai-se, ficando
.
No nosso caso
e o número de termos é
(porque vai de potência
até
). Assim
Portanto a expressão ficou
Passo 4
Para simplificar essa fração, faça a substituição conveniente
. Então
. A expressão passa a ser
Note que
é uma diferença de quadrados e fatoriza como
Passo 5
Substituindo a fatoração na fração:
Como
e essa quantidade não é zero (
), podemos cancelar o fator
e fica
Voltando à variável original, isto é
Passo 6
Se quiser o valor numérico, calcule
. Sabe-se que
e então
. Assim