Questão 40. Qual o valor da expressão \frac{2^{8}+2^{9}+2^{10}+\ldots+2^{35}}{2^{8}+2^{22}} ?

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá a expressão
\frac{2^{8}+2^{9}+2^{10}+\ldots+2^{35}}{2^{8}+2^{22}}.
  • No numerador aparece a soma das potências de 2 desde 2^{8} até 2^{35}, ou seja todos os termos 2^{k} com k=8,9,\dots,35.
  • No denominador temos a soma 2^{8}+2^{22}.
O que se pede: calcular o valor dessa expressão (ou seja, simplificar e obter um número).

Passo 2

Primeira ideia útil: fatorar uma potência comum em cima e embaixo para simplificar. Note que 2^{8} é fator comum tanto no numerador quanto no denominador. Vamos escrever isso claramente.
No numerador:
2^{8}+2^{9}+\cdots+2^{35}=2^{8}\bigl(1+2+2^{2}+\cdots+2^{27}\bigr),
porque cada termo 2^{k}=2^{8}\cdot 2^{\,k-8} e k-8 varia de 0 até 27.
No denominador:
2^{8}+2^{22}=2^{8}\bigl(1+2^{14}\bigr),
pois 2^{22}=2^{8}\cdot 2^{14}.
Portanto a expressão original vira
\frac{2^{8}\bigl(1+2+2^{2}+\cdots+2^{27}\bigr)}{2^{8}\bigl(1+2^{14}\bigr)}.

Passo 3

Cancelamos o fator 2^{8} comum em numerador e denominador (já que 2^{8}\neq 0). Obtemos
\frac{1+2+2^{2}+\cdots+2^{27}}{1+2^{14}}.
Agora precisamos calcular a soma geométrica
S=1+2+2^{2}+\cdots+2^{27}.
Lembrete: a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica com razão r e primeiro termo 1 é
1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-1}=\frac{r^{n}-1}{r-1}.
Uma rápida justificativa: multiplica-se por r e subtrai-se, ficando r^{n}-1=(r-1)S.
No nosso caso r=2 e o número de termos é n=28 (porque vai de potência 0 até 27). Assim
S=\frac{2^{28}-1}{2-1}=2^{28}-1.
Portanto a expressão ficou
\frac{2^{28}-1}{1+2^{14}}.

Passo 4

Para simplificar essa fração, faça a substituição conveniente \,x=2^{14}. Então 2^{28}=(2^{14})^{2}=x^{2}. A expressão passa a ser
\frac{x^{2}-1}{1+x}.
Note que x^{2}-1 é uma diferença de quadrados e fatoriza como
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 5

Substituindo a fatoração na fração:
\frac{x^{2}-1}{1+x}=\frac{(x-1)(x+1)}{1+x}.
Como x+1=1+x e essa quantidade não é zero ( x=2^{14}>0), podemos cancelar o fator x+1 e fica
x-1.
Voltando à variável original, isto é
2^{14}-1.

Passo 6

Se quiser o valor numérico, calcule 2^{14}. Sabe-se que 2^{10}=1024 e então 2^{14}=2^{10}\cdot 2^{4}=1024\cdot16=16384. Assim
2^{14}-1=16384-1=16383.

Resposta

\,2^{14}-1=16383

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