Questão 41. Encontre uma fórmula para a soma dos n primeiros números da sequência a_{n}=2 \cdot 3^{n}, \forall n \geq 1 e n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede uma fórmula para a soma dos n primeiros termos da sequência \;a_{n}=2\cdot 3^{n},\;\forall n\ge 1.\n
Informações dadas:
  • A sequência é dada por \;a_{n}=2\cdot 3^{n} para todo \;n\ge 1.
  • A pergunta é: encontrar uma expressão fechada para a soma dos primeiros n termos, ou seja \;\sum_{k=1}^{n} a_k.\n
    Observações imediatas que vamos usar depois (sem resolver ainda):
  • o termo geral mostra que cada termo é 2 vezes uma potência de 3;
  • o fator 3 entre potências indica que a sequência interna \;3^{n} forma uma progressão geométrica com razão \;3.

Passo 2

Entender o que é uma soma geométrica (aula rápida e prática).
  • Uma progressão geométrica é uma sequência cujos termos são obtidos multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Se a razão for \;r e o primeiro termo for \;b_1, os termos são \;b_1,\;b_1 r,\;b_1 r^2,\ldots.
  • A soma finita dos primeiros n termos de uma progressão geométrica é uma soma geométrica. Vamos derivar a fórmula para \;T=\sum_{k=1}^{n} r^{k} (a soma das potências), porque a nossa soma terá esse formato multiplicado por 2.
Derivação padrão (método do “multiplica por \;r e subtrai”):
  • Defina \;T=\sum_{k=1}^{n} r^{k} = r + r^{2} + r^{3} + \cdots + r^{n}.
  • Multiplique ambos os lados por \;r: \;rT = r^{2} + r^{3} + \cdots + r^{n} + r^{n+1}.
  • Subtraindo as duas expressões: \;rT - T = r^{n+1} - r.
  • Fatorando o lado esquerdo: \;(r-1)T = r^{n+1} - r.
  • Isolando \;T: T = \frac{r^{n+1}-r}{r-1}.
  • Podemos escrever \;T de outra forma útil: T = \frac{r(r^{n}-1)}{r-1}.
Explicação dos símbolos:
  • \;r é a razão da progressão geométrica.
  • \;T é a soma das potências \;r^{k} de k=1 até k=n.

Passo 3

Aplicar a fórmula à nossa soma original.
  • A soma pedida é \;S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 2\cdot 3^{k}.
  • Como 2 é constante em relação à soma, podemos fatorar: S_{n} = 2 \sum_{k=1}^{n} 3^{k}.
  • Aqui identificamos \;r=3 na fórmula da soma das potências. Usando a fórmula do Passo 2 com \;r=3: \sum_{k=1}^{n} 3^{k} = \frac{3(3^{n}-1)}{3-1}.

Passo 4

Simplificar a expressão para ficar numa forma bem fechada e simples.
  • Substituindo em \;S_{n}: S_{n} = 2\cdot \frac{3(3^{n}-1)}{3-1}.
  • Como \;3-1=2, temos S_{n} = 2\cdot \frac{3(3^{n}-1)}{2} = 3(3^{n}-1).
  • Expandindo, uma forma alternativa (equivalente) é: S_{n} = 3^{n+1} - 3.

Passo 5

Verificação com exemplos pequenos (para você checar rápido durante a prova).
  • Para \;n=1: soma = a_{1}=2\cdot 3^{1}=6. A fórmula dá \;3(3^{1}-1)=3(3-1)=3\cdot 2=6. OK.
  • Para \;n=2: soma = a_{1}+a_{2}=6+18=24. A fórmula dá \;3(3^{2}-1)=3(9-1)=3\cdot 8=24. OK.

Resposta

S_{n}=3(3^{n}-1)=3^{\,n+1}-3

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