Questão 41. Encontre uma fórmula para a soma dos
primeiros números da sequência
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma fórmula para a soma dos
primeiros termos da sequência
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é dada por
para todo . - A pergunta é: encontrar uma expressão fechada para a soma dos primeiros
termos, ou seja .\n
Observações imediatas que vamos usar depois (sem resolver ainda): - o termo geral mostra que cada termo é
vezes uma potência de ; - o fator
entre potências indica que a sequência interna forma uma progressão geométrica com razão .
Passo 2
Entender o que é uma soma geométrica (aula rápida e prática).
- Uma progressão geométrica é uma sequência cujos termos são obtidos multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Se a razão for
e o primeiro termo for , os termos são . - A soma finita dos primeiros
termos de uma progressão geométrica é uma soma geométrica. Vamos derivar a fórmula para (a soma das potências), porque a nossa soma terá esse formato multiplicado por .
Derivação padrão (método do “multiplica por
e subtrai”):
- Defina
- Multiplique ambos os lados por
: - Subtraindo as duas expressões:
- Fatorando o lado esquerdo:
- Isolando
: - Podemos escrever
de outra forma útil:
Explicação dos símbolos:
-
é a razão da progressão geométrica. -
é a soma das potências de até .
Passo 3
Aplicar a fórmula à nossa soma original.
- A soma pedida é
- Como
é constante em relação à soma, podemos fatorar: - Aqui identificamos
na fórmula da soma das potências. Usando a fórmula do Passo 2 com :
Passo 4
Simplificar a expressão para ficar numa forma bem fechada e simples.
- Substituindo em
: - Como
, temos - Expandindo, uma forma alternativa (equivalente) é:
Passo 5
Verificação com exemplos pequenos (para você checar rápido durante a prova).
- Para
: soma = . A fórmula dá . OK. - Para
: soma = . A fórmula dá . OK.