Questão 43 (EFOM-2020/21). Numa progressão geométrica crescente, o
termo é igual à soma do triplo do
termo com o dobro do
termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 26 , determine o valor do
termo.
Passo 1
O enunciado fornece uma progressão geométrica crescente com três termos consecutivos e pede para determinar o valor do segundo termo. Informações dadas:
- Denominar o
termo por . - Denominar a razão da progressão por
. - O
termo é igual à soma do triplo do termo com o dobro do termo. - A soma dos três termos vale
.
A pergunta direta: determinar o valor dotermo da progressão.
Passo 2
Escrever os três termos em função de
e
. Numa progressão geométrica:
-
termo: . -
termo: . -
termo: .
Passo 3
Traduzir a condição “o
termo é igual à soma do triplo do
termo com o dobro do
termo” em equação. Isso dá:
Passo 4
Observar que
porque a soma dos três termos é
(não nula). Assim podemos dividir a equação do Passo 3 por
e obter uma equação só em
:
Passando todos os termos para o mesmo lado:
Passo 5
Resolver a equação quadrática. Fatoremos:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 6
Decidir qual razão é válida para uma progressão geométrica crescente. Se
os termos alternariam sinal (
) e não seriam crescentes; então essa opção é incompatível com “crescente”. Logo a razão deve ser
Passo 7
Usar a condição da soma dos três termos:
. Substituindo
obtemos:
Como
, segue que
Passo 8
Calcular o
termo, que é
. Com
e
:
Fazer uma checagem rápida: os três termos ficam
; a relação
dá
e a soma
. Tudo consistente.