Questão 43 (EFOM-2020/21). Numa progressão geométrica crescente, o 3^{\circ} termo é igual à soma do triplo do 1^{\circ} termo com o dobro do 2^{\circ} termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 26 , determine o valor do 2^{\circ} termo.

Passo 1

O enunciado fornece uma progressão geométrica crescente com três termos consecutivos e pede para determinar o valor do segundo termo. Informações dadas:
  • Denominar o 1^{\circ} termo por x.
  • Denominar a razão da progressão por r.
  • O 3^{\circ} termo é igual à soma do triplo do 1^{\circ} termo com o dobro do 2^{\circ} termo.
  • A soma dos três termos vale 26.
    A pergunta direta: determinar o valor do 2^{\circ} termo da progressão.

Passo 2

Escrever os três termos em função de x e r. Numa progressão geométrica:
  • 1^{\circ} termo: x.
  • 2^{\circ} termo: xr.
  • 3^{\circ} termo: xr^{2}.

Passo 3

Traduzir a condição “o 3^{\circ} termo é igual à soma do triplo do 1^{\circ} termo com o dobro do 2^{\circ} termo” em equação. Isso dá:
xr^{2}=3x+2xr.

Passo 4

Observar que x\neq0 porque a soma dos três termos é 26 (não nula). Assim podemos dividir a equação do Passo 3 por x e obter uma equação só em r:
r^{2}=3+2r.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
r^{2}-2r-3=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática. Fatoremos:
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0.
Portanto as raízes são r=3 e r=-1.

Passo 6

Decidir qual razão é válida para uma progressão geométrica crescente. Se r=-1 os termos alternariam sinal ( x,-x,x,\dots) e não seriam crescentes; então essa opção é incompatível com “crescente”. Logo a razão deve ser
r=3.

Passo 7

Usar a condição da soma dos três termos: x+xr+xr^{2}=26. Substituindo r=3 obtemos:
x(1+3+9)=26.
Como 1+3+9=13, segue que
13x=26\quad\Rightarrow\quad x=2.

Passo 8

Calcular o 2^{\circ} termo, que é xr. Com x=2 e r=3:
xr=2\cdot 3=6.
Fazer uma checagem rápida: os três termos ficam 2,6,18; a relação 18=3\cdot2+2\cdot6 18=6+12=18 e a soma 2+6+18=26. Tudo consistente.

Resposta

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