Questão 44. Quanto vale a soma das raízes da equação (x+2)+2+\frac{4}{(x+2)}+\frac{8}{(x+2)^{2}}+\ldots=8 ? Questão 45 (Escola Naval - 1991). O limite da soma \frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{2}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+\frac{2}{3^{6}}+\ldots é ?

Passo 1

Vou separar claramente o que cada enunciado pede e quais dados são fornecidos.
  • Questão 44: Resolver a equação
(x+2)+2+\frac{4}{(x+2)}+\frac{8}{(x+2)^{2}}+\frac{16}{(x+2)^3}+\ldots=8
e determinar a soma das raízes (ou seja, a soma das soluções da equação).
  • Questão 45: Calcular o valor do limite da soma infinita
\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{2}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+\frac{2}{3^{6}}+\ldots
Informações relevantes observadas:
  • Na Questão 44 aparece uma soma infinita com termos que envolvem potências de (x+2) no denominador e numeradores que parecem formar uma progressão geométrica (2, 4, 8, 16, …). Isso sugere usar uma substituição para simplificar a expressão e reconhecer uma série geométrica.
  • Na Questão 45 os termos se repetem em blocos de dois: 1/3,\;2/3^{2},\;1/3^{3},\;2/3^{4},\ldots. Podemos agrupar ou separar em duas séries para usar a soma de séries geométricas.
Agora começo a resolver passo a passo, explicando as fórmulas e verificando condições de convergência quando necessário.

Passo 2

Questão 44 — simplificar a expressão com uma substituição conveniente.
Defino a variável auxiliar
t = x+2.
Isso deixa a soma mais clara. Substituindo, a equação vira
t + 2 + \frac{4}{t} + \frac{8}{t^{2}} + \frac{16}{t^{3}} + \cdots = 8.
Explicação didática: a substituição serve para não carregar o x+2 repetidas vezes; fica mais fácil reconhecer padrões. Sempre que um enunciado repete a mesma expressão muitas vezes, pensar em uma substituição é um truque padrão.

Passo 3

Questão 44 — identificar e somar a série geométrica que aparece.
Observe os termos a partir de \dfrac{4}{t}: eles são
\frac{4}{t},\\ \frac{8}{t^{2}},\\ \frac{16}{t^{3}},\ldots
Esse é uma série geométrica (cada termo obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa). Determine a razão r:
r=\frac{\frac{8}{t^{2}}}{\frac{4}{t}}=\frac{8}{t^{2}}\cdot\frac{t}{4}=\frac{2}{t}.
Fórmula que vamos usar (aula rápida): a soma infinita de uma série geométrica com primeiro termo a e razão r converge e vale \dfrac{a}{1-r} se, e somente se, |r|<1. Aqui o primeiro termo é a=\dfrac{4}{t} e a razão é r=\dfrac{2}{t}. Portanto a soma da cauda (a partir de \dfrac{4}{t}) é válida quando |2/t|<1, i.e., quando |t|>2.

Passo 4

Questão 44 — aplicar a fórmula da soma geométrica.
Somando a cauda:
\text{cauda}=\frac{\dfrac{4}{t}}{1-\dfrac{2}{t}}=\frac{4/t}{(t-2)/t}=\frac{4}{t-2}.
Então a equação original em t fica
t+2+\frac{4}{t-2}=8.
Explicação passo a passo: substituí a soma infinita por \dfrac{4}{t-2} usando a fórmula e simplifiquei as frações cuidadosamente (multipliquei numerador e denominador por t para eliminar frações dentro de frações).

Passo 5

Questão 44 — resolver a equação resultante.
A partir de
t+2+\frac{4}{t-2}=8,
subtraio 8 dos dois lados:
t-6+\frac{4}{t-2}=0.
Multiplico ambos os lados por t-2 (lembrando que isso exige t\neq2, de qualquer forma t=2 também não atenderia |t|>2):
(t-6)(t-2)+4=0.
Faço a multiplicação:
t^{2}-8t+12+4=0,
logo
t^{2}-8t+16=0.
Reconhece-se um quadrado perfeito:
(t-4)^{2}=0.
Portanto
t=4.
Verificação das condições: precisamos ter |t|>2 para a soma geométrica convergir; |4|>2 é verdadeiro, então t=4 é uma solução válida. Convertendo de volta para x: \,x+2=t=4\Rightarrow x=2.
Observação sobre multiplicidade: a equação quadrática em t teve raiz dupla t=4, mas na equação original, a única solução distinta para x é x=2. Como a soma infinita exige a condição de convergência que exclui t=2, não há outras soluções. Assim a(s) raiz(es) é(são) x=2.

Passo 6

Questão 44 — conclusão e comentário final curto.
Há apenas uma solução real da equação original: x=2. Portanto, a soma das raízes (soma das soluções) é 2.
Agora resolvo a Questão 45.

Passo 7

Questão 45 — entender o padrão da série e escolher estratégia.
A série dada é
\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{2}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+\frac{2}{3^{6}}+\cdots
Há um padrão alternado em blocos de dois termos: para n\ge1, no par de índices 2n-1,2n temos
\text{termo }(2n-1)=\frac{1}{3^{2n-1}},\qquad \text{termo }(2n)=\frac{2}{3^{2n}}.
Estratégia eficiente: agrupar os termos em pares e somar cada par, obtendo uma nova série geométrica mais simples. Outra alternativa (equivalente) é separar em duas séries: uma com os termos de índice ímpar e outra com os termos de índice par.

Passo 8

Questão 45 — agrupar em pares e simplificar.
Para cada n\ge1, o par soma-se como
\frac{1}{3^{2n-1}}+\frac{2}{3^{2n}}.
Fatorando 1/3^{2n-1}=1/3\cdot 1/9^{\,n-1} e 2/3^{2n}=2/9^{\,n}, escrevo ambos com a potência 9^{\,n-1}:
\frac{1}{3^{2n-1}}+\frac{2}{3^{2n}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9^{\,n-1}}+\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{9^{\,n-1}} =\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}\right)\frac{1}{9^{\,n-1}}.
Calculo o coeficiente:
\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{3}{9}+\frac{2}{9}=\frac{5}{9}.
Logo cada par vale \dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{1}{9^{\,n-1}}.
Portanto a série original se transforma em
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{9^{\,n-1}}\right).

Passo 9

Questão 45 — somar a nova série geométrica.
A série obtida é geométrica com primeiro termo a=\dfrac{5}{9} (quando n=1) e razão r=\dfrac{1}{9} (porque cada termo é obtido multiplicando por 1/9 ao aumentar n). Como |r|=1/9<1, a soma converge e vale
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{9}\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}=\frac{\dfrac{5}{9}}{1-\dfrac{1}{9}}.
Calculo:
1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}, \qquad \frac{\dfrac{5}{9}}{\dfrac{8}{9}}=\frac{5}{8}.

Passo 10

Questão 45 — conclusão.
O valor do limite da soma é \dfrac{5}{8}.

Resposta

Questão 44: 2
Questão 45: \dfrac{5}{8}

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