Questão 44. Quanto vale a soma das raízes da equação
? Questão 45 (Escola Naval - 1991). O limite da soma
é ?
Passo 1
Vou separar claramente o que cada enunciado pede e quais dados são fornecidos.
- Questão 44: Resolver a equação
e determinar a soma das raízes (ou seja, a soma das soluções da equação).
- Questão 45: Calcular o valor do limite da soma infinita
Informações relevantes observadas:
- Na Questão 44 aparece uma soma infinita com termos que envolvem potências de
no denominador e numeradores que parecem formar uma progressão geométrica (2, 4, 8, 16, …). Isso sugere usar uma substituição para simplificar a expressão e reconhecer uma série geométrica. - Na Questão 45 os termos se repetem em blocos de dois:
. Podemos agrupar ou separar em duas séries para usar a soma de séries geométricas.
Agora começo a resolver passo a passo, explicando as fórmulas e verificando condições de convergência quando necessário.
Passo 2
Questão 44 — simplificar a expressão com uma substituição conveniente.
Defino a variável auxiliar
Isso deixa a soma mais clara. Substituindo, a equação vira
Explicação didática: a substituição serve para não carregar o
repetidas vezes; fica mais fácil reconhecer padrões. Sempre que um enunciado repete a mesma expressão muitas vezes, pensar em uma substituição é um truque padrão.
Passo 3
Questão 44 — identificar e somar a série geométrica que aparece.
Observe os termos a partir de
: eles são
Esse é uma série geométrica (cada termo obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa). Determine a razão
:
Fórmula que vamos usar (aula rápida): a soma infinita de uma série geométrica com primeiro termo
e razão
converge e vale
se, e somente se,
. Aqui o primeiro termo é
e a razão é
. Portanto a soma da cauda (a partir de
) é válida quando
, i.e., quando
.
Passo 4
Questão 44 — aplicar a fórmula da soma geométrica.
Somando a cauda:
Então a equação original em
fica
Explicação passo a passo: substituí a soma infinita por
usando a fórmula e simplifiquei as frações cuidadosamente (multipliquei numerador e denominador por
para eliminar frações dentro de frações).
Passo 5
Questão 44 — resolver a equação resultante.
A partir de
subtraio 8 dos dois lados:
Multiplico ambos os lados por
(lembrando que isso exige
, de qualquer forma
também não atenderia
):
Faço a multiplicação:
logo
Reconhece-se um quadrado perfeito:
Portanto
Verificação das condições: precisamos ter
para a soma geométrica convergir;
é verdadeiro, então
é uma solução válida. Convertendo de volta para
:
.
Observação sobre multiplicidade: a equação quadrática em
teve raiz dupla
, mas na equação original, a única solução distinta para
é
. Como a soma infinita exige a condição de convergência que exclui
, não há outras soluções. Assim a(s) raiz(es) é(são)
.
Passo 6
Questão 44 — conclusão e comentário final curto.
Há apenas uma solução real da equação original:
. Portanto, a soma das raízes (soma das soluções) é
.
Agora resolvo a Questão 45.
Passo 7
Questão 45 — entender o padrão da série e escolher estratégia.
A série dada é
Há um padrão alternado em blocos de dois termos: para
, no par de índices
temos
Estratégia eficiente: agrupar os termos em pares e somar cada par, obtendo uma nova série geométrica mais simples. Outra alternativa (equivalente) é separar em duas séries: uma com os termos de índice ímpar e outra com os termos de índice par.
Passo 8
Questão 45 — agrupar em pares e simplificar.
Para cada
, o par soma-se como
Fatorando
e
, escrevo ambos com a potência
:
Calculo o coeficiente:
Logo cada par vale
.
Portanto a série original se transforma em
Passo 9
Questão 45 — somar a nova série geométrica.
A série obtida é geométrica com primeiro termo
(quando
) e razão
(porque cada termo é obtido multiplicando por
ao aumentar
). Como
, a soma converge e vale
Calculo:
Passo 10
Questão 45 — conclusão.
O valor do limite da soma é
.
Resposta
Questão 44: 2
Questão 45:
Questão 45: