Informações relevantes que o enunciado dá (observadas nos termos):
Cada termo tem um fator final \frac{1}{4}.
Antes do \frac{1}{4} aparecem potências ímpares de \frac{3}{4}: no primeiro termo (\frac{3}{4})^{1}, no segundo (\frac{3}{4})^{3}, no terceiro (\frac{3}{4})^{5} e assim por diante.
Portanto a sequência de termos é do tipo (\frac{3}{4})^{2n+1}\cdot\frac{1}{4} para n=0,1,2,\dots.
A pergunta é: qual é a soma infinita desses termos (o limite quando o número de termos vai para o infinito)?
Passo 2
Escolha do método: esta é claramente uma soma infinita cujos termos seguem uma razão constante entre termos consecutivos (após identificar a forma geral), ou seja, é uma série geométrica (ou pode ser reduzida a uma). Vou usar a soma de uma série geométrica porque é a maneira mais direta e simples para somar termos da forma ar^{n}. Agora escrevo explicitamente o termo geral.
Escrever o somatório com índice n. Pelo que observamos:
\text{o termo }n\text{ é }a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}\cdot\frac{1}{4},\qquad n=0,1,2,\dots
Defino a=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4} e r=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}. Assim
S=a\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}.
Lembrete (fórmula da série geométrica): para uma série geométrica com primeiro termo a e razão r, se |r|<1 então
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Explicação rápida do porquê: a soma parcial S_N=1+r+\cdots+r^{N}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}; como |r|<1 temos r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, então o limite é 1/(1-r).
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso caso. Primeiro calcule r e verifique a condição de convergência:
r=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}.
Como \left|\frac{9}{16}\right|<1, a série converge e podemos usar a fórmula. Portanto
Simplificando a fração \frac{48}{112} (dividindo numerador e denominador por 16) obtemos o valor final.
Passo 5
Encerramento e checagem rápida: a fração simplificada dá um número entre 0 e 1, o que faz sentido já que todos os termos positivos e menores que 1. Numericamente isso fica próximo de 0{,}4286, conferindo que a soma é razoável.