Questão 46 (EFOM-2013/14). Qual é o limite da expressão \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}+\ldots ?

Passo 1

O enunciado pede o limite (ou seja, a soma infinita) da sequência de termos
\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}+\ldots
Informações relevantes que o enunciado dá (observadas nos termos):
  • Cada termo tem um fator final \frac{1}{4}.
  • Antes do \frac{1}{4} aparecem potências ímpares de \frac{3}{4}: no primeiro termo (\frac{3}{4})^{1}, no segundo (\frac{3}{4})^{3}, no terceiro (\frac{3}{4})^{5} e assim por diante.
  • Portanto a sequência de termos é do tipo (\frac{3}{4})^{2n+1}\cdot\frac{1}{4} para n=0,1,2,\dots.
    A pergunta é: qual é a soma infinita desses termos (o limite quando o número de termos vai para o infinito)?

Passo 2

Escolha do método: esta é claramente uma soma infinita cujos termos seguem uma razão constante entre termos consecutivos (após identificar a forma geral), ou seja, é uma série geométrica (ou pode ser reduzida a uma). Vou usar a soma de uma série geométrica porque é a maneira mais direta e simples para somar termos da forma ar^{n}. Agora escrevo explicitamente o termo geral.
Escrever o somatório com índice n. Pelo que observamos:
\text{o termo }n\text{ é }a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}\cdot\frac{1}{4},\qquad n=0,1,2,\dotsé
Logo a soma buscada é
S=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}\cdot\frac{1}{4}.

Passo 3

Transformar a soma numa forma padrão de série geométrica. Factorizo o que não depende de n:
S=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1} =\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\right)^{n}.
Defino a=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4} e r=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}. Assim
S=a\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}.
Lembrete (fórmula da série geométrica): para uma série geométrica com primeiro termo a e razão r, se |r|<1 então
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Explicação rápida do porquê: a soma parcial S_N=1+r+\cdots+r^{N}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}; como |r|<1 temos r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, então o limite é 1/(1-r).

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Primeiro calcule r e verifique a condição de convergência:
r=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}.
Como \left|\frac{9}{16}\right|<1, a série converge e podemos usar a fórmula. Portanto
S=\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{1}{1-\frac{9}{16}}.
Agora calculo passo a passo:
\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{16}, \qquad 1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16},
então
S=\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{\frac{7}{16}}=\frac{3}{16}\cdot\frac{16}{7}=\frac{48}{112}.
Simplificando a fração \frac{48}{112} (dividindo numerador e denominador por 16) obtemos o valor final.

Passo 5

Encerramento e checagem rápida: a fração simplificada dá um número entre 0 e 1, o que faz sentido já que todos os termos positivos e menores que 1. Numericamente isso fica próximo de 0{,}4286, conferindo que a soma é razoável.

Resposta

\dfrac{3}{7}

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