Questão 47. Encontre o valor da soma infinita \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+\frac{4}{81}+\frac{5}{243}+\frac{6}{729}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o valor da soma infinita
\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+\frac{4}{81}+\frac{5}{243}+\frac{6}{729}+\ldots
Informações dadas e o que isso significa:
  • Os termos seguem o padrão: o n-ésimo termo é \dfrac{n}{3^{n}} para n=1,2,3,\ldots.
  • Ou seja, a soma que queremos é a série
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n}}.
  • É necessário avaliar se essa série converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor numérico exato.

Passo 2

Vou definir uma soma parecida e manipulá‑la de forma elementar (sem cálculo) — truque clássico de provas por somas infinitas.
Considere, para um número real r com |r|<1, a série
S(r)=\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}.
Aqui r é uma constante (mais tarde substituiremos por r=\dfrac{1}{3}). Primeiro assumo |r|<1 para garantir que as somas geométricas que aparecerão convergem.

Passo 3

Escrevo S(r) explicitamente:
S(r)=r+2r^{2}+3r^{3}+4r^{4}+\cdots.
Agora multiplico essa igualdade por r:
rS(r)=r^{2}+2r^{3}+3r^{4}+4r^{5}+\cdots.
Observe o padrão: se eu subtrair rS(r) de S(r), muitos termos “cancelam” de forma telescópica. Faço a subtração termo a termo (válida porque |r|<1 garante convergência das séries envolvidas):
S(r)-rS(r)=(r+2r^{2}+3r^{3}+4r^{4}+\cdots)-(r^{2}+2r^{3}+3r^{4}+4r^{5}+\cdots).

Passo 4

Ao fazer a subtração, cada termo da direita cancela parcialmente o seguinte termo da esquerda, sobrando uma soma geométrica simples:
S(r)-rS(r)=r + r^{2} + r^{3} + r^{4} + \cdots.
A série à direita é a série geométrica com primeiro termo r e razão r, cuja soma (para |r|<1) é
r + r^{2} + r^{3} + \cdots = \frac{r}{1-r}.
Portanto,
S(r)(1-r)=\frac{r}{1-r}.

Passo 5

Isolo S(r) dividindo ambos os lados por (1-r) (novamente |r|<1 garante 1-r\neq0):
S(r)=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Essa é a fórmula geral válida para |r|<1:
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
(Se quiser, isso também pode ser obtido diferenciando a soma geométrica, mas o método que mostrei é mais elementar e muito útil em provas.)

Passo 6

Agora identifico r no problema: cada termo é \dfrac{n}{3^{n}}=n\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}. Logo r=\dfrac{1}{3}, que satisfaz |r|<1. Substituo na fórmula:
S\;=\;S\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\frac{\tfrac{1}{3}}{\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}}.
Calculo passo a passo:
1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}, \qquad \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}=\tfrac{4}{9},
\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{9}}=\tfrac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.

Resposta

\dfrac{3}{4}

Exercícios relacionados