Questão 47. Encontre o valor da soma infinita
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o valor da soma infinita
Informações dadas e o que isso significa:
- Os termos seguem o padrão: o
-ésimo termo é para . - Ou seja, a soma que queremos é a série
- É necessário avaliar se essa série converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor numérico exato.
Passo 2
Vou definir uma soma parecida e manipulá‑la de forma elementar (sem cálculo) — truque clássico de provas por somas infinitas.
Considere, para um número real
com
, a série
Aqui
é uma constante (mais tarde substituiremos por
). Primeiro assumo
para garantir que as somas geométricas que aparecerão convergem.
Passo 3
Escrevo
explicitamente:
Agora multiplico essa igualdade por
:
Observe o padrão: se eu subtrair
de
, muitos termos “cancelam” de forma telescópica. Faço a subtração termo a termo (válida porque
garante convergência das séries envolvidas):
Passo 4
Ao fazer a subtração, cada termo da direita cancela parcialmente o seguinte termo da esquerda, sobrando uma soma geométrica simples:
A série à direita é a série geométrica com primeiro termo
e razão
, cuja soma (para
) é
Portanto,
Passo 5
Isolo
dividindo ambos os lados por
(novamente
garante
):
Essa é a fórmula geral válida para
:
(Se quiser, isso também pode ser obtido diferenciando a soma geométrica, mas o método que mostrei é mais elementar e muito útil em provas.)
Passo 6
Agora identifico
no problema: cada termo é
. Logo
, que satisfaz
. Substituo na fórmula:
Calculo passo a passo: