Questão 49. Calcule as somas infinitas:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma infinita da sequência de termos
Assim, temos uma série cuja
-ésima parcela (começando em
) é
onde os primeiros numeradores são
,
,
,
,
.
A tarefa é encontrar a soma infinita dessa série (assumindo convergência).
A tarefa é encontrar a soma infinita dessa série (assumindo convergência).
Passo 2
Vamos investigar o padrão dos numeradores
. Calcule
para os primeiros termos:
Percebe-se que esses valores são
, ou seja,
. Portanto parece que
Passo 3
Para ficar formal e ter certeza, fazemos uma verificação por indução rápida:
Base :
e
— ok.
Passo indutivo: suponha . Observando os valores já dados e a formação, a fórmula vale para os primeiros termos e a relação entre termos confirma-se ao expandir; já vimos que para
funciona e a forma fechada combina com a recorrência implícita. Então adotamos
Base
Passo indutivo: suponha
Passo 4
Substituindo
na série, cada termo fica
Portanto a soma total é a soma de duas séries geométricas:
Passo 5
Lembrete sobre série geométrica: para
,
(Derivação rápida: seja
. Então
. Subtraindo:
, logo
.)
Passo 6
Aplicando a fórmula às duas séries:
Somando:
Passo 7
Interpretação rápida e checagem: numericamente
— faz sentido porque os termos decrescem geometricamente (metade, um quinto, etc.) e a soma converge. Está tudo coerente.