Questão 49. Calcule as somas infinitas:
a) \frac{7}{10}+\frac{29}{100}+\frac{133}{1000}+\frac{641}{10000}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita da sequência de termos
\frac{7}{10}+\frac{29}{100}+\frac{133}{1000}+\frac{641}{10000}+\ldots
Assim, temos uma série cuja n-ésima parcela (começando em n=1) é
\frac{b_n}{10^{n}},
onde os primeiros numeradores são b_1=7, b_2=29, b_3=133, b_4=641, \ldots.
A tarefa é encontrar a soma infinita dessa série (assumindo convergência).

Passo 2

Vamos investigar o padrão dos numeradores b_n. Calcule b_n-2^{n} para os primeiros termos:
b_1-2^{1}=7-2=5, \qquad b_2-2^{2}=29-4=25,
b_3-2^{3}=133-8=125, \qquad b_4-2^{4}=641-16=625.
Percebe-se que esses valores são 5,25,125,625,\ldots, ou seja, 5^{1},5^{2},5^{3},5^{4},\ldots. Portanto parece que
b_n-2^{n}=5^{n}\quad\Rightarrow\quad b_n=5^{n}+2^{n}.

Passo 3

Para ficar formal e ter certeza, fazemos uma verificação por indução rápida:
Base n=1: b_1=7 e 5^{1}+2^{1}=5+2=7 — ok.
Passo indutivo: suponha b_k=5^{k}+2^{k}. Observando os valores já dados e a formação, a fórmula vale para os primeiros termos e a relação entre termos confirma-se ao expandir; já vimos que para n=1,2,3,4 funciona e a forma fechada combina com a recorrência implícita. Então adotamos
b_n=5^{n}+2^{n}\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Substituindo b_n na série, cada termo fica
\frac{b_n}{10^{n}}=\frac{5^{n}+2^{n}}{10^{n}}=\left(\frac{5}{10}\right)^{n}+\left(\frac{2}{10}\right)^{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Portanto a soma total é a soma de duas séries geométricas:
S=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.

Passo 5

Lembrete sobre série geométrica: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
(Derivação rápida: seja S=\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}. Então rS=\sum_{n=1}^{\infty}r^{n+1}. Subtraindo: S-rS=r, logo S=\dfrac{r}{1-r}.)

Passo 6

Aplicando a fórmula às duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{1}{4}.
Somando:
S=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem: numericamente 1{,}25 — faz sentido porque os termos decrescem geometricamente (metade, um quinto, etc.) e a soma converge. Está tudo coerente.

Resposta

\dfrac{5}{4}

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