Questão 50 (IFAL-2019). Qual deve ser o valor de
para que
?
Passo 1
O enunciado dá a soma infinita
e pede que se encontre o valor de
.
Informações relevantes:
- A soma é desde
até infinito. - Cada termo é a soma de duas parcelas:
e . -
é uma constante desconhecida que multiplica ambas as séries. - A pergunta é: qual é o valor de
que faz a soma total valer .
Passo 2
Factorizando
da soma, por linearidade das somas infinitas (podemos somar termo a termo porque as séries convergem, ver explicação a seguir):
Explicação curta sobre convergência: cada uma das séries
e
é uma série geométrica com razão em valor absoluto menor que
, portanto ambas convergem.
Passo 3
Fórmula útil (e como obtê-la): para
vale
Derivação rápida:
. Subtraindo o termo
(que é
) obtemos
. Aqui
é a razão da série geométrica.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso
:
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso
:
Passo 6
Somando os dois resultados:
Então a igualdade do enunciado fica
Isolando
:
Passo 7
Verificação simbólica rápida: substituindo
na expressão
obtém-se
logo a escolha de
é consistente com o enunciado.