Questão 50 (IFAL-2019). Qual deve ser o valor de k para que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k}{2^{n}}+\frac{k}{3^{n}}=36 ?

Passo 1

O enunciado dá a soma infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{k}{2^{n}}+\frac{k}{3^{n}}\right)=36
e pede que se encontre o valor de k.
Informações relevantes:
  • A soma é desde n=1 até infinito.
  • Cada termo é a soma de duas parcelas: \dfrac{k}{2^{n}} e \dfrac{k}{3^{n}}.
  • k é uma constante desconhecida que multiplica ambas as séries.
  • A pergunta é: qual é o valor de k que faz a soma total valer 36.

Passo 2

Factorizando k da soma, por linearidade das somas infinitas (podemos somar termo a termo porque as séries convergem, ver explicação a seguir):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{k}{2^{n}}+\frac{k}{3^{n}}\right) = k\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right) = k\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}\right).
Explicação curta sobre convergência: cada uma das séries \sum 1/2^{n} e \sum 1/3^{n} é uma série geométrica com razão em valor absoluto menor que 1, portanto ambas convergem.

Passo 3

Fórmula útil (e como obtê-la): para |r|<1 vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Derivação rápida: \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \dfrac{1}{1-r}. Subtraindo o termo n=0 (que é 1) obtemos \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \dfrac{1}{1-r}-1=\dfrac{r}{1-r}. Aqui r é a razão da série geométrica.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso r=\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso r=\tfrac{1}{3}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Somando os dois resultados:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Então a igualdade do enunciado fica
k\cdot\frac{3}{2}=36.
Isolando k:
k=36\cdot\frac{2}{3}.

Passo 7

Verificação simbólica rápida: substituindo k=36\cdot\frac{2}{3} na expressão k\cdot\frac{3}{2} obtém-se
\left(36\cdot\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{3}{2}=36,
logo a escolha de k é consistente com o enunciado.

Resposta

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