Questão 51 (IME-2015/2016). Os inteiros a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{25} estão em PA com razão não nula. Os termos a_{1}, a_{2} e a_{10} estão em PG, assim como a_{6}, a_{j} e a_{25}. Determine j.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação 1: Os inteiros a_{1},a_{2},\dots,a_{25} estão em progressão aritmética (PA) de razão não nula.
  • Informação 2: Os termos a_{1},a_{2},a_{10} estão em progressão geométrica (PG).
  • Informação 3: Os termos a_{6},a_{j},a_{25} estão em progressão geométrica (PG).
  • Pergunta: Determinar o valor de j.

Passo 2

Vamos representar a PA de forma padrão e explicar o que significa cada símbolo.
  • Seja a_1 o primeiro termo da PA e seja d a razão da PA (sabemos que d\neq0).
  • Então o termo geral é dado por
a_n = a_1 + (n-1)d.
Aqui a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo e d é a diferença constante entre termos consecutivos.

Passo 3

Usar a condição de PG para a_{1},a_{2},a_{10}. Para três números estarem em PG vale a relação
a_2^2 = a_1\cdot a_{10}.
Substituindo com a expressão da PA:
\bigl(a_1+d\bigr)^2 = a_1\bigl(a_1+9d\bigr).
Desenvolvendo e simplificando:
a_1^2 + 2a_1 d + d^2 = a_1^2 + 9 a_1 d
2a_1 d + d^2 = 9 a_1 d
d^2 = 7 a_1 d.
Como d\neq0, podemos dividir por d e obter
d = 7 a_1.
Isso é uma relação importante entre a_1 e d. Repare que dessa igualdade segue que a_1\neq0, pois se a_1=0 então d=0 contradizendo d\neq0.

Passo 4

Expressar a_6 e a_{25} em função de a_1 usando d=7a_1.
  • Para a_6:
a_6 = a_1 + 5d = a_1 + 5\cdot(7a_1) = a_1(1+35)=36a_1.
  • Para a_{25}:
a_{25} = a_1 + 24d = a_1 + 24\cdot(7a_1) = a_1(1+168)=169a_1.

Passo 5

Aplicar a condição de PG para a_6,a_j,a_{25}. Novamente vale
a_j^2 = a_6\cdot a_{25}.
Substituindo os valores que encontramos:
a_j^2 = (36a_1)\cdot(169a_1) = 36\cdot169\;a_1^2.
Tirando raiz quadrada (lembrando que pode ser positiva ou negativa, já que a razão da PG pode ser negativa),
a_j = \pm \sqrt{36\cdot169}\;a_1 = \pm(6\cdot13)\,a_1 = \pm78\,a_1.

Passo 6

Também sabemos que a_j vem da PA, logo
a_j = a_1 + (j-1)d.
Substituindo d=7a_1,
a_j = a_1 + (j-1)\cdot 7a_1 = a_1\bigl(1+7(j-1)\bigr) = a_1(7j-6).
Igualando às duas possibilidades \pm78a_1 e dividindo por a_1 (que é não nulo), obtemos as equações
7j-6 = 78 \quad\text{ou}\quad 7j-6 = -78.

Passo 7

Resolver as duas equações lineares:
  • Caso positivo:
7j-6=78 \implies 7j=84 \implies j=12.
  • Caso negativo:
7j-6=-78 \implies 7j=-72 \implies j=-\tfrac{72}{7},
que não é um inteiro e, além disso, não pertence ao conjunto de índices 1,2,\dots,25. Portanto esse caso é inválido.
Verificamos que j=12 é um índice admissível (entre 1 e 25) e satisfaz todas as condições.

Resposta

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