Questão 51 (IME-2015/2016). Os inteiros
estão em PA com razão não nula. Os termos
e
estão em PG, assim como
e
. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informação 1: Os inteiros
estão em progressão aritmética (PA) de razão não nula. - Informação 2: Os termos
estão em progressão geométrica (PG). - Informação 3: Os termos
estão em progressão geométrica (PG). - Pergunta: Determinar o valor de
.
Passo 2
Vamos representar a PA de forma padrão e explicar o que significa cada símbolo.
- Seja
o primeiro termo da PA e seja a razão da PA (sabemos que ). - Então o termo geral é dado por
Aqui
é o n-ésimo termo,
é o primeiro termo e
é a diferença constante entre termos consecutivos.
Passo 3
Usar a condição de PG para
. Para três números estarem em PG vale a relação
Substituindo com a expressão da PA:
Desenvolvendo e simplificando:
Como
, podemos dividir por
e obter
Isso é uma relação importante entre
e
. Repare que dessa igualdade segue que
, pois se
então
contradizendo
.
Passo 4
Expressar
e
em função de
usando
.
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Aplicar a condição de PG para
. Novamente vale
Substituindo os valores que encontramos:
Tirando raiz quadrada (lembrando que pode ser positiva ou negativa, já que a razão da PG pode ser negativa),
Passo 6
Também sabemos que
vem da PA, logo
Substituindo
,
Igualando às duas possibilidades
e dividindo por
(que é não nulo), obtemos as equações
Passo 7
Resolver as duas equações lineares:
- Caso positivo:
- Caso negativo:
que não é um inteiro e, além disso, não pertence ao conjunto de índices
. Portanto esse caso é inválido.
Verificamos que
é um índice admissível (entre
e
) e satisfaz todas as condições.