Questão 53. Determine as geratrizes das dízimas periódicas:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a geratriz (a representação fracionária) da dízima periódica
. Informação dada: trata-se de uma dízima periódica com período constituído pelo dígito
repetido infinitamente.
Passo 2
Método algébrico clássico (muito usado em prova).
Seja o número que queremos:
Seja
Multiplico ambos os lados por
para deslocar a vírgula uma casa:
Agora subtraio a equação original da equação multiplicada:
À direita, as infinitas parcelas
cancelam termo a termo, sobrando apenas
. À esquerda fica
. Logo:
Dividindo por
:
Portanto a dízima
é igual a
. A geratriz como fração é
(ou simplesmente
).
Passo 3
Verificação pelo somatório (intuitivo e útil para entender séries).
Escrevemos como soma de uma série geométrica:
Escrevemos
É uma série geométrica com primeiro termo
e razão
, com
. A soma de uma série geométrica infinita convergente é
Substituindo:
Isso confirma o resultado obtido pelo método algébrico.
Passo 4
Interpretação prática (ajuda na prova): os somatórios parciais
são cada vez mais perto de
; a diferença
tende a zero quando
. Portanto a dízima converte exatamente em
.