Questão 53. Determine as geratrizes das dízimas periódicas:
a) 0,9999 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para determinar a geratriz (a representação fracionária) da dízima periódica 0,999\ldots. Informação dada: trata-se de uma dízima periódica com período constituído pelo dígito 9 repetido infinitamente.

Passo 2

Método algébrico clássico (muito usado em prova).
Seja x o número que queremos:
x = 0,999\ldots
Multiplico ambos os lados por 10 para deslocar a vírgula uma casa:
10x = 9,999\ldots
Agora subtraio a equação original da equação multiplicada:
10x - x = 9,999\ldots - 0,999\ldots
À direita, as infinitas parcelas 0,999\ldots cancelam termo a termo, sobrando apenas 9. À esquerda fica 9x. Logo:
9x = 9.
Dividindo por 9:
x = 1.
Portanto a dízima 0,999\ldots é igual a 1. A geratriz como fração é \dfrac{1}{1} (ou simplesmente 1).

Passo 3

Verificação pelo somatório (intuitivo e útil para entender séries).
Escrevemos 0,999\ldots como soma de uma série geométrica:
0,999\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} 9\cdot 10^{-k} = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots
É uma série geométrica com primeiro termo a=\dfrac{9}{10} e razão r=\dfrac{1}{10}, com |r|<1. A soma de uma série geométrica infinita convergente é
\frac{a}{1-r}.
Substituindo:
\frac{\tfrac{9}{10}}{1-\tfrac{1}{10}}=\frac{\tfrac{9}{10}}{\tfrac{9}{10}}=1.
Isso confirma o resultado obtido pelo método algébrico.

Passo 4

Interpretação prática (ajuda na prova): os somatórios parciais
S_1=0,9,\quad S_2=0,99,\quad S_3=0,999,\ldots
são cada vez mais perto de 1; a diferença 1-S_n=10^{-n} tende a zero quando n\to\infty. Portanto a dízima converte exatamente em 1.

Resposta

1

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