Questão 53. Determine as geratrizes das dízimas periódicas:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a geratriz (a fração geradora) da dízima periódica
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O número é
(dízima periódica). - O período repetido é o bloco de dígitos
. - O tamanho do período é
dígitos. - Não há parte não periódica antes do período (é uma dízima pura).
Passo 2
Primeiro método (álgebra clássica, passo a passo). Vamos chamar o número de
:
Como o período tem
dígitos, multiplicamos
por
para deslocar a vírgula exatamente um bloco periódico:
Agora subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a parte periódica infinita que aparece em ambas:
Isso simplifica para
Logo,
Passo 3
Explicação didática do porquê do passo anterior (fórmula geral para dízima pura). Se uma dízima pura repete um bloco de
dígitos cujo valor numérico é
(por exemplo, aqui
e
), então
Derivação rápida pela série geométrica: a dízima corresponde à soma
que é uma progressão geométrica com primeira parcela
e razão
. A soma é
No nosso caso
e
, então
, coincidindo com o resultado do método algébrico.
Passo 4
Verificação de irredutibilidade (reduzir a fração, se possível). Calculando o máximo divisor comum:
portanto
. A fração já está na forma irredutível:
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar:
-
-
Dica prática para a prova: se existir uma parte não periódica antes do período (por exemplo ), usa-se a subtração com e , onde é o número de dígitos da parte não periódica e o tamanho do período.