Questão 53. Determine as geratrizes das dízimas periódicas:
b) 0,14141414 \ldots

Passo 1

O enunciado pede: determinar a geratriz (a fração geradora) da dízima periódica 0,14141414\ldots.
Informações relevantes dadas:
  • O número é 0,14141414\ldots (dízima periódica).
  • O período repetido é o bloco de dígitos 14.
  • O tamanho do período é k=2 dígitos.
  • Não há parte não periódica antes do período (é uma dízima pura).

Passo 2

Primeiro método (álgebra clássica, passo a passo). Vamos chamar o número de x:
x = 0,14141414\ldots
Como o período tem k=2 dígitos, multiplicamos x por 10^{2}=100 para deslocar a vírgula exatamente um bloco periódico:
100x = 14,14141414\ldots
Agora subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a parte periódica infinita que aparece em ambas:
100x - x = 14,14141414\ldots - 0,14141414\ldots
Isso simplifica para
99x = 14.
Logo,
x = \dfrac{14}{99}.

Passo 3

Explicação didática do porquê do passo anterior (fórmula geral para dízima pura). Se uma dízima pura repete um bloco de k dígitos cujo valor numérico é a (por exemplo, aqui a=14 e k=2), então
x = 0,\overline{a}= \frac{a}{10^{k}-1}.
Derivação rápida pela série geométrica: a dízima corresponde à soma
x = a\cdot 10^{-k} + a\cdot 10^{-2k} + a\cdot 10^{-3k} + \cdots
que é uma progressão geométrica com primeira parcela a\cdot 10^{-k} e razão 10^{-k}. A soma é
x = \frac{a\cdot 10^{-k}}{1-10^{-k}} = \frac{a}{10^{k}-1}.
No nosso caso a=14 e k=2, então x=\dfrac{14}{10^{2}-1}=\dfrac{14}{99}, coincidindo com o resultado do método algébrico.

Passo 4

Verificação de irredutibilidade (reduzir a fração, se possível). Calculando o máximo divisor comum:
\gcd(14,99):\quad 99 = 7\cdot 14 + 1,\quad 14 = 14\cdot 1 + 0,
portanto \gcd(14,99)=1. A fração já está na forma irredutível:
\dfrac{14}{99}\\ \text{é a forma simplificada.}é

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar:
  • 0,\overline{3}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
  • 0,\overline{12}=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}.
    Dica prática para a prova: se existir uma parte não periódica antes do período (por exemplo 0,16\overline{3}), usa-se a subtração com 10^{m+k} e 10^{m}, onde m é o número de dígitos da parte não periódica e k o tamanho do período.

Resposta

\dfrac{14}{99}

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