Questão 53. Determine as geratrizes das dízimas periódicas:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a geratriz (fração geradora) da dízima periódica
.
Informações dadas:
- A representação decimal é
, ou seja, a parte inteira é . - Após a vírgula há um trecho não-periódico de comprimento
(o dígito ). - A parte periódica é o dígito
repetido infinitamente, de comprimento .
Passo 2
Vou explicar o método geral, passo a passo, para que você saiba aplicar em qualquer dízima do tipo “parte não-periódica seguida de periódico”.
Seja
o número decimal com:
- parte inteira
, - parte não-periódica (após a vírgula) com
dígitos, que interpretamos como um inteiro , - parte periódica de comprimento
com dígitos que interpretamos como um inteiro .
O truque é multiplicar
por
para deslocar a vírgula de modo que a repetição comece imediatamente depois da vírgula, e por
para deslocar a vírgula de modo que tenhamos a mesma repetição depois da vírgula nas duas expressões. Assim:
elimina a parte periódica infinita (porque as partes periódicas se cancelam), restando uma diferença inteira que podemos calcular a partir dos dígitos conhecidos. Daí se obtém
Explicando as variáveis:
-
é o número de dígitos não-periódicos após a vírgula; -
é o comprimento do bloco periódico; - a “diferença inteira” é a subtração entre os números formados pelos dígitos até o fim do primeiro período deslocado (ou seja, os valores inteiros de
e ).
Agora aplico isso ao caso concreto.
Passo 3
Defino
.
Aqui
e
. Então:
Multiplico:
Subtraindo as duas igualdades para eliminar a parte periódica:
Passo 4
Isolo
:
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum
:
Passo 5
Verificação intuitiva rápida para ganhar confiança: escrever
. Note que
pois
. Assim
, confirmando que a geratriz está correta.