Questão 53. Determine as geratrizes das dízimas periódicas:
c) 1,7111111 \ldots

Passo 1

O enunciado pede: determinar a geratriz (fração geradora) da dízima periódica 1,7111111\ldots.
Informações dadas:
  • A representação decimal é 1,7\overline{1}, ou seja, a parte inteira é 1.
  • Após a vírgula há um trecho não-periódico de comprimento m=1 (o dígito 7).
  • A parte periódica é o dígito 1 repetido infinitamente, de comprimento n=1.

Passo 2

Vou explicar o método geral, passo a passo, para que você saiba aplicar em qualquer dízima do tipo “parte não-periódica seguida de periódico”.
Seja x o número decimal com:
  • parte inteira I,
  • parte não-periódica (após a vírgula) com m dígitos, que interpretamos como um inteiro A,
  • parte periódica de comprimento n com dígitos que interpretamos como um inteiro B.
O truque é multiplicar x por 10^{m} para deslocar a vírgula de modo que a repetição comece imediatamente depois da vírgula, e por 10^{m+n} para deslocar a vírgula de modo que tenhamos a mesma repetição depois da vírgula nas duas expressões. Assim:
10^{m+n}x - 10^{m}x
elimina a parte periódica infinita (porque as partes periódicas se cancelam), restando uma diferença inteira que podemos calcular a partir dos dígitos conhecidos. Daí se obtém
x=\frac{\text{diferença inteira}}{10^{m+n}-10^{m}}.ç
Explicando as variáveis:
  • m é o número de dígitos não-periódicos após a vírgula;
  • n é o comprimento do bloco periódico;
  • a “diferença inteira” é a subtração entre os números formados pelos dígitos até o fim do primeiro período deslocado (ou seja, os valores inteiros de 10^{m+n}x e 10^{m}x).
Agora aplico isso ao caso concreto.

Passo 3

Defino x = 1,7111111\ldots.
Aqui m=1 e n=1. Então:
10^{m} = 10,\qquad 10^{m+n}=10^{2}=100.
Multiplico:
10x = 17,11111\ldots
100x = 171,11111\ldots
Subtraindo as duas igualdades para eliminar a parte periódica:
100x - 10x = 171,11111\ldots - 17,11111\ldots
90x = 154.

Passo 4

Isolo x:
x = \frac{154}{90}.
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum 2:
x = \frac{154\div 2}{90\div 2} = \frac{77}{45}.

Passo 5

Verificação intuitiva rápida para ganhar confiança: escrever \dfrac{77}{45}=1+\dfrac{32}{45}. Note que
\dfrac{32}{45} = \dfrac{64}{90} = 0,7 + 0,011111\ldots = 0,711111\ldots,
pois 0,011111\ldots = \dfrac{1}{90}. Assim \dfrac{77}{45}=1,711111\ldots, confirmando que a geratriz está correta.

Resposta

\dfrac{77}{45}

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