Questão 54. Larga-se uma bola de uma altura de 5m. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas
da altura anterior. Determine:
a) a distância total percorrida pela bola.
b) o tempo gasto pela bola até parar.
a) a distância total percorrida pela bola.
b) o tempo gasto pela bola até parar.
Passo 1
O enunciado é curto e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que pedem.
- Dado inicial: a bola é largada de uma altura
. - Regra dos choques: após cada impacto com o solo, a bola sobe até uma altura igual a uma fração
da altura imediatamente anterior. Ou seja, a razão de recuperação é . - Suposição física padrão (não informada no enunciado): desprezam‑se os tempos de contato com o solo e usa‑se a aceleração da gravidade
(vou indicar a fórmula em termos de e depois calcular numericamente usando ).
Perguntas:
a) Determinar a distância total percorrida pela bola até parar.
b) Determinar o tempo total gasto até a bola parar (isto é, somar os tempos de todas as quedas e subidas).
a) Determinar a distância total percorrida pela bola até parar.
b) Determinar o tempo total gasto até a bola parar (isto é, somar os tempos de todas as quedas e subidas).
Passo 2
Entender a sequência de alturas e os trechos que compõem a distância total.
- Primeira queda: desce de
. - Depois do primeiro choque: sobe até
, e em seguida desce essa mesma altura . - Depois do segundo choque: sobe até
, desce . - E assim por diante, formando uma sequência infinita de subidas e descidas com alturas
para .
Portanto, a distância total percorrida (para cima + para baixo) é:
Aqui o termo
é a primeira descida; cada
para
aparece duas vezes (subida e descida).
Passo 3
Somar a série geométrica que aparece na distância total.
Primeiro escrevo
. Então
Recordando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se
então
Aqui
e
, então a fórmula vale.
Substituindo:
Faço uma simplificação algébrica útil:
. Logo
Passo 4
Aplicar os valores numéricos para (a).
Substituo
e
:
Assim
Portanto
Interpretação rápida: a bola percorre
no total antes de parar (incluindo todas as subidas e descidas).
Passo 5
Agora vamos ao tempo total. Primeiro a fórmula básica do tempo de queda/lançamento vertical:
Para um movimento uniformemente acelerado com aceleração
e deslocamento vertical
a partir do repouso (queda livre), a relação é
Isolando
obtemos o tempo de queda desde o repouso até uma altura
:
Para subir até uma altura
(lançamento para cima com velocidade tal que atinge exatamente altura
), o tempo de subida é o mesmo que o tempo de queda desde
até o solo, ou seja, também
. Então, para uma trajetória de subida+descida de uma mesma altura
, o tempo total é
.
Passo 6
Montar a soma dos tempos de todos os trechos.
- Tempo da primeira queda:
. - Para cada
(altura ): tempo de subida+descida é .
Assim o tempo total é
Factorizando
e usando
:
Passo 7
Somar a série geométrica para os tempos.
A série
é geométrica com razão
. Se
então
e
Assim
Fazendo a mesma simplificação algébrica de antes:
portanto
Passo 8
Aplicar os valores numéricos para (b). Primeiro calcule
:
Então
Logo
Substituindo
:
Agora avalio numericamente com
:
Se preferir usar
dá praticamente o mesmo:
. Vou adotar a aproximação com uma casa decimal coerente:
.
Passo 9
Resumo interpretativo (curto e motivador): a distância total vem de somar a primeira queda e todas as subidas/quedas subsequentes via série geométrica; o tempo total usa a relação
para cada trecho e novamente soma uma série geométrica sobre as raízes das alturas. Resultado elegante: as razões aparecem de forma simples e tudo se reduz a frações pequenas.
Resposta
a)
b) (usando
).
b)