Questão 54. Larga-se uma bola de uma altura de 5m. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas \frac{4}{9} da altura anterior. Determine:
a) a distância total percorrida pela bola.
b) o tempo gasto pela bola até parar.

Passo 1

O enunciado é curto e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que pedem.
  • Dado inicial: a bola é largada de uma altura \,H_0=5\\ \mathrm{m}\,.
  • Regra dos choques: após cada impacto com o solo, a bola sobe até uma altura igual a uma fração \dfrac{4}{9} da altura imediatamente anterior. Ou seja, a razão de recuperação é \,r=\dfrac{4}{9}\,.
  • Suposição física padrão (não informada no enunciado): desprezam‑se os tempos de contato com o solo e usa‑se a aceleração da gravidade \,g (vou indicar a fórmula em termos de \,g e depois calcular numericamente usando \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Perguntas:
a) Determinar a distância total percorrida pela bola até parar.
b) Determinar o tempo total gasto até a bola parar (isto é, somar os tempos de todas as quedas e subidas).

Passo 2

Entender a sequência de alturas e os trechos que compõem a distância total.
  • Primeira queda: desce de \,H_0.
  • Depois do primeiro choque: sobe até \,H_1 = H_0 r, e em seguida desce essa mesma altura \,H_1.
  • Depois do segundo choque: sobe até \,H_2 = H_0 r^2, desce \,H_2.
  • E assim por diante, formando uma sequência infinita de subidas e descidas com alturas \,H_k = H_0 r^k para k=0,1,2,\dots.
Portanto, a distância total percorrida (para cima + para baixo) é:
\text{distância total} = H_0 \;+\; 2\sum_{k=1}^{\infty} H_k.â
Aqui o termo H_0 é a primeira descida; cada H_k para k\ge1 aparece duas vezes (subida e descida).

Passo 3

Somar a série geométrica que aparece na distância total.
Primeiro escrevo H_k = H_0 r^k. Então
2\sum_{k=1}^{\infty} H_k \;=\; 2\sum_{k=1}^{\infty} H_0 r^k \;=\; 2H_0\sum_{k=1}^{\infty} r^k.
Recordando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se |r|<1 então
\sum_{k=1}^{\infty} r^k = \frac{r}{1-r}.
Aqui r=\dfrac{4}{9} e |r|<1, então a fórmula vale.
Substituindo:
\text{distância total} = H_0 + 2H_0\cdot\frac{r}{1-r} = H_0\!\left(1+\frac{2r}{1-r}\right).â
Faço uma simplificação algébrica útil: 1+\dfrac{2r}{1-r}=\dfrac{1-r+2r}{1-r}=\dfrac{1+r}{1-r}. Logo
\text{distância total} = H_0\cdot\frac{1+r}{1-r}.â

Passo 4

Aplicar os valores numéricos para (a).
Substituo H_0=5 e r=\dfrac{4}{9}:
1+r = 1+\frac{4}{9}=\frac{13}{9},\qquad 1-r = 1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.
Assim
\frac{1+r}{1-r} = \frac{\tfrac{13}{9}}{\tfrac{5}{9}} = \frac{13}{5}.
Portanto
\text{distância total} = 5\cdot\frac{13}{5}=13\\ \mathrm{m}.â
Interpretação rápida: a bola percorre 13\\ \mathrm{m} no total antes de parar (incluindo todas as subidas e descidas).

Passo 5

Agora vamos ao tempo total. Primeiro a fórmula básica do tempo de queda/lançamento vertical:
Para um movimento uniformemente acelerado com aceleração \,g e deslocamento vertical \,h a partir do repouso (queda livre), a relação é
h=\frac{1}{2}g t^2.
Isolando t obtemos o tempo de queda desde o repouso até uma altura h:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
Para subir até uma altura h (lançamento para cima com velocidade tal que atinge exatamente altura h), o tempo de subida é o mesmo que o tempo de queda desde h até o solo, ou seja, também t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}. Então, para uma trajetória de subida+descida de uma mesma altura h, o tempo total é 2\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.

Passo 6

Montar a soma dos tempos de todos os trechos.
  • Tempo da primeira queda: t_0=\sqrt{\dfrac{2H_0}{g}}.
  • Para cada k\ge1 (altura H_k): tempo de subida+descida é 2\sqrt{\dfrac{2H_k}{g}}.
Assim o tempo total é
T = \sqrt{\frac{2H_0}{g}} \;+\; 2\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{\frac{2H_k}{g}}.
Factorizando \sqrt{\dfrac{2}{g}} e usando H_k=H_0 r^k:
T = \sqrt{\frac{2}{g}}\left(\sqrt{H_0} + 2\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{H_0}\,r^{k/2}\right) = \sqrt{\frac{2H_0}{g}}\left(1 + 2\sum_{k=1}^{\infty} r^{k/2}\right).

Passo 7

Somar a série geométrica para os tempos.
A série \sum_{k=1}^{\infty} r^{k/2} é geométrica com razão s=r^{1/2}. Se |r|<1 então |s|<1 e
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k/2} = \sum_{k=1}^{\infty} s^k = \frac{s}{1-s}.
Assim
T = \sqrt{\frac{2H_0}{g}}\left(1 + 2\cdot\frac{s}{1-s}\right) \quad\text{com}\quad s=\sqrt{r}.
Fazendo a mesma simplificação algébrica de antes:
1+2\cdot\frac{s}{1-s}=\frac{1-s+2s}{1-s}=\frac{1+s}{1-s},
portanto
T = \sqrt{\frac{2H_0}{g}}\cdot\frac{1+\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}.

Passo 8

Aplicar os valores numéricos para (b). Primeiro calcule \sqrt{r}:
r=\frac{4}{9}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{r}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}.
Então
\frac{1+\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}=\frac{1+\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}}=\frac{\tfrac{5}{3}}{\tfrac{1}{3}}=5.
Logo
T = \sqrt{\frac{2H_0}{g}}\cdot 5.
Substituindo H_0=5\\ \mathrm{m}:
T = 5\sqrt{\frac{2\cdot 5}{g}} = 5\sqrt{\frac{10}{g}}.
Agora avalio numericamente com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\sqrt{\frac{10}{9{,}8}}\approx 1{,}010152\quad\Rightarrow\quad T\approx 5\times 1{,}010152\approx 5{,}05\\ \mathrm{s}.
Se preferir usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} dá praticamente o mesmo: T\approx 5{,}048\\ \mathrm{s}. Vou adotar a aproximação com uma casa decimal coerente: T\approx 5{,}05\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Resumo interpretativo (curto e motivador): a distância total vem de somar a primeira queda e todas as subidas/quedas subsequentes via série geométrica; o tempo total usa a relação t=\sqrt{2h/g} para cada trecho e novamente soma uma série geométrica sobre as raízes das alturas. Resultado elegante: as razões aparecem de forma simples e tudo se reduz a frações pequenas.

Resposta

a) 13\\ \mathrm{m}
b) T=5\sqrt{\dfrac{10}{g}}\approx5{,}05\\ \mathrm{s} (usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}).

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